2.5. Виртуальная работа силы. Идеальные связи

Виртуальной называется работа силы на любом виртуальном перемещении точки ее приложения:

А( ) = .

Для вычисления виртуальной работы можно применять известные формулы для элементарной работы силы, подставляя вместо элементарного возможного виртуальное перемещение точки.

При использовании декартовых координат

А( ) =F_x x + F_y y + F_z z.

Например, виртуальная работа горизонтальной силы , приложенной к стержню АВ (рис. 2.7) в точке С, равна А( )=F_xx_с. Так как F_x =  F, x_с = BC cos и x_с =  BC sin ·, то А( ) = F BC sin· .

Если к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси l = Oz, приложена сила , момент которой относительно этой оси М_l=Oz, то

А( ) =М_l=Oz  ,

где   виртуальное угловое перемещение тела вокруг оси l =Oz .

А( ) = F_ s,

где F_ – проекция силы на направление касательной, s – вариация траекторной координаты точки приложения силы при траекторном способе задания ее движения.

А ( ) = F_v S,

где F_v – проекция силы на направление скорости точки приложения силы, S – вариация перемещения точки приложения силы.

Виртуальная работа потенциальных сил равна вариации силового потенциала А = U или вариации со знаком минус потенциальной энергии системы А =  П.

Установив понятие виртуальной работы силы, можно расширить классификацию связей, разделяя их на идеальные и неидеальные.

Связи называются идеальными , если равна нулю сумма виртуальных работ реакций этих связей на любом виртуальном перемещении системы ( из занимаемого в данный момент времени положения).

Для идеальных связей

или .

Полагая связи идеальными, можно решить задачу динамики несвободной системы, которая состоит в том, что для данной системы с заданными активными силами и начальными условиями нужно найти уравнения движения и реакции связей. Например, если материальная точка движется по гладкой поверхности, уравнение которой f (x, y, z) = 0, то нормальная реакция , где  – неопределенный множитель Лагранжа.

Уравнения связи совместно с дифференциальными уравнениями движения точки образуют замкнутую систему уравнений, позволяющую определить как уравнения движения точки, так и множитель Лагранжа, а значит, и нормальную реакцию связи

.

Примеры идеальных связей:

1. Гладкая поверхность (плоскость)для материальной точки. В этом случае А ( ) =  =     cos ( ) = 0, так как вектор расположен вдоль нормали к поверхности и, следовательно, ортогонален вектору виртуального перемещения точки.

2. Нерастяжимая нить. Реакция нити – сила ее натяжения ортогональна виртуальному перемещению точки ее приложения, поэтому А ( ) =  = 0.

3 . Цилиндрические и сферические шарниры, если поверхности соприкасающихся тел считаются идеально гладкими. Если твердое тело при помощи шарнира прикреплено к неподвиж- ной опоре (рис. 2.8), то реакция приложена к неподвижной точке. Поэтому ее виртуальное перемещение равно нулю и А( ) =  = 0 и др.

4. Твердая шероховатая поверхность для цилиндрического катка при качении без скольжения. Контакт катка с поверхностью происходит по линии. Поэтому реакцией связи является система сил, распределенных вдоль линии контакта. Виртуальная работа сил реакции равна нулю, так как они приложены к неподвижным в каждый момент времени точкам С_МЦС сечений катка (см. рис. 2.1).