2. Движение системы при наличии связей. Уравнения лагранжа II рода при нестационарном базисе

2.1. Основные понятия. Несвободное движение точки и механической системы

Механическая система, точки которой могут занимать любое положение в пространстве и иметь любые скорости, называется свободной. Например, свободной системой является космический аппарат, движущийся по орбите вокруг Земли. Его движение не ограничено другими телами, и поэтому, прикладывая к аппарату соответствующие силы, можно изменять траекторию его центра масс и поворачивать аппарат вокруг центра масс.

Если на координаты и скорости точек системы наложены ограничения, то система называется несвободной, а ограничения называются связями. Механические системы со связями, како­выми являются динамические объекты систем вооружения, рассматриваются как несвободные. Механические связи реализуются в виде различных устройств или тел (стержни, нити, шарниры и т.п.). Аналитически связь описывается уравнением вида

Здесь n – число материальных точек системы, положение которой в пространстве определяется 3n декартовыми координатами и на которую наложено h связей.

Ограничивая движение механической системы, связи действуют на ее точки посредством сил, которые называются реакциями связей. При изучении равновесия и движения механических систем методами аналитической механики применяется принцип освобождения (аксиома о связях). Этот принцип состоит в том, что любую систему можно рассматривать как свободную, приложив к ее точкам реакции, соответствующие отброшенным связям. Они обычно выражаются в виде равенств или неравенств, в них может явно входить время и т. д.

2.2. Связи и их классификация

1. Связи называются голономными, если они описываются уравнениями вида

(2.1)

Такие связи накладывают ограничения на координаты точек, а значит, на положение системы в пространстве. Это так называемые геометрические связи. Вместе с тем, голономные связи накладывают ограничения и на скорости точек системы. Соответствующие условия получаются в результате дифференцирования уравнений (2.1) по времени:

. (2.2)

Голономные связи могут описываться и дифференциальными уравнениями, однако последние обязательно должны быть интегрируемыми.

Пример 2.1. Получить уравнения связей для диска радиусом r , который катится без скольжения по плоскости (рис. 2.1).

Р ешение. Уравнения связей имеют вид где  – угол поворота диска (=0 при x_c = 0). Из первого уравнения связи следует, что . Интегрируя второе уравнение, находим связь между координатой x_c и углом поворота диска: .

Неголономными называются связи, которые описываются уравнениями вида

(2.3)

Уравнения (2.3), в отличие от уравнений голономных связей, не могут быть проинтегрированы независимо от дифференциальных уравнений движения системы. Неголономные связи накладывают ограничения (2.3) на скорости точек, поэтому их называют кинематическими.

Пример 2.2. Получить уравнения связей для шара радиусом r, который катится без скольжения по плоскости (рис. 2.2).

Р ис. 2.2

Решение. Положение шара определяется координатами x_c , y_c , z_c центра масс и тремя углами его поворота вокруг центра масс. Этими углами могут быть углы Эйлера. При любом положении шара расстояние от точки С до плоскости Оxy равно его радиусу. Поэтому одно из уравнений связи имеет вид z_c = r .

Другие уравнения связи определяются из условия качения без скольжения: , где С_МЦС – точка соприкосновения шара с плоскостью.

Проецируя это векторное уравнение на оси неподвижной системы координат, получаем Интегрирование последнего уравнения дает полученное выше геометрическое условие z_с = r .

Кинематические уравнения в проекциях на оси неподвижной системы координат имеют вид

Таким образом, уравнениями связей для шара являются

Первые два из них не интегрируются, т.е. являются уравнениями неголономных связей.

2. Связи подразделяются на стационарные и нестационарные в зависимости от того, входит в явном виде время в уравнение связи или нет. Связь, уравнение которой имеет вид , является голономной и стационарной. Для голономной нестационарной связи уравнение имеет вид

П

Рис. 2.3

ример 2.3. Жесткий стержень длиной l, прикрепленный к неподвижной шарнирной опоре и перемещающийся в плоскости xOy (рис. 2.3), является стационарной связью для материальной точки М, находящейся на его свободном конце. Уравнения связи в декартовой системе координат, начало которой совпадает с точкой закрепления стержня, имеют вид 1) z = 0; 2) x² + y²  l² =0.

П

Рис. 2.4

ример 2.4. Если длина стержня изменяется по заданному закону (рис. 2.4), то связь является нестационарной и уравнения связей имеют вид 1) z = 0; 2) x² + y²  l² (t)  0.

3. Связи называют удерживающими (двусторонними), если они являют- ся равенствами нулю: 1) z = 0; 2) x² + y²  l² =0 (рис. 2.3).

В этом случае говорят, что точка в любой момент времени остается на связи.

Неудерживающая (односторонняя) связь описывается неравенством нулю. Например, если математический маятник представляет собой тонкий стержень длиной l, вращающийся вокруг неподвижной оси, к свободному концу которого прикреплен груз (материальная точка), то связь для груза будет удерживающей. Если же груз прикреплен к свободному концу нерастяжимой нитью длиной l(t), то связь будет неудерживающей, поскольку груз может находиться как на поверхности сферы радиусом l(t), так и внутри ее x² + y²  l² (t)  0.