Схемы конструкций и исходные данные к вариантам курсовой работы повышенной трудности

Предлагаются варианты задач по расчету динамики механических систем с тремя и более степенями свободы. Задачи предназначены для проведения учебной научно-исследовательской работы. Программирование расчета динамики систем проводится студентами самостоятельно под руководством преподавателя.

В

1

каждом из вариантов механических систем (рис. 6.3) необходимо составить дифференциальные уравнения движения системы и рассчитать конкретное движение на ЭВМ. Рекомендуемые при проведении расчетов значения постоянных, характеризующих динамику системы, приведены в табл. 6.3.

2

3

Р ис. 6.3

4

5

6

Р ис. 6.3. Продолжение

7

8

9

Р ис. 6.3. Продолжение

10

11

Рис. 6.3. Окончание

Т а б л и ц а 6.3 Значения физических величин для схем конструкций курсовой работы рис. 6.3
Физическая величина	Номер  варианта схем конструкций систем
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Масса m1, кг	3,7 · 103	2,0 · 103	2,0 · 103	1,8 · 103	2,0 · 103	2,0 · 103	2,0 · 103	2,0 · 103	2,0 · 103	2,0 · 103	3,0 · 104
Масса m2, кг	—	1,6 · 103	1,6 · 103	1,9 · 103	3,2 · 103	3,2 · 103	3,2 · 103	3,2 · 102	3,2 · 102	3,2 · 102	—
Масса m3, кг	—	—	—	—	1,6 · 103	1,6 · 103	1,6 · 103	1,6 · 103	1,6 · 103	1,6 · 103	—
Масса m4, кг	—	—	—	—	—	—	—	—	—	80	—
Момент инерции J1, кг  м2	1,03 · 104	4,7 · 103	4,7 · 103	4 · 103	4,7 · 103	4,7 · 103	4,7 · 103	4,7 · 103	4,7 · 103	1,5 · 102	1,5 · 102
Момент инерции J2, кг  м2	—	4,9 · 103	4,9 · 103	5,1 · 103	1,5 · 102	1,5 · 102	1,5 · 102	1,5 · 102	1,5 · 102	4,9 · 103	—
Момент инерции J3, кг  м2	—	—	—	—	4,9 · 103	4,9 · 103	4,9 · 103	4,9 · 103	4,9 · 103	—	—
Радиус R, м	—	—	—	—	—	—	—	—	—	0,5	0,98
Координата x1O, м	—	—	—	—	3,3	3,3	3,3	0	0	0,25	—
Координата y1O, м	—	—	—	—	0,5	0,5	0,5	0	0,55	—	—
Координата x1O, м	—	3,3	3,3	3,2	—	—	—	—	—	—	—
Координата y1O, м	1,0	0,6	0,6	0,5	—	—	—	—	—	—	—
Координата x2O, м	—	—	—	0,7	0,25	0,25	0,25	0,25	0,25	0,8	—
Координата y2O, м	—	—	—	0,02	–0,18	–0,18	–0,18	–0,18	–0,18	0,06	—
Координата x2O, м	3,8	4,0	4,0	4,0	—	—	—	—	—	—	—
Координата y2O, м	0,8	1,0	1,0	1,0	—	—	—	—	—	—	—
Координата x0О, м	—	—	—	—	3,3	3,3	3,3	–0,05	0	—	—
Координата y0O, м	—	—	—	—	1,0	1,0	1,0	0,4	0,95	1,0	—
Координата x3О, м	—	—	—	—	0,8	0,8	0,8	0,8	0,8	—	—
Окончание табл. 6. 3
Физическая величина	Номер варианта схем конструкций систем рис.6.3
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Координата y3О, м	—	—	—	—	0,06	0,06	0,06	0,06	0,06	—	—
Длина l1, м	3,8	3,8	3,8	3,8	3,8	3,8	3,8	0,6	2,0	—	—
Длина l2, м	—	—	—	—	—	—	—	3,3	—	—	—
Начальное удлинение 0, м	—	—	—	—	—	—	—	—	—	—	–0,01
Жесткость С1, Н/м	2,0 · 106	2,0 · 106	2,0 · 106	2,0 · 106	2,0 · 106	2,0 · 106	2,0 · 106	2,0 · 106	2,0 · 106	—	—
Жесткость С2, Н/м	2,0 · 107	2,0 · 107	2,0 · 107	2,0 · 107	—	2,0 · 107	2,0 · 107	2,0 · 107	—	—	—
Жесткость С3, Н/м	2,0 · 107	—	2,0 · 107	—	—	—	2,0 · 107	—	—	—	—
Крутильная жесткость С , Н · м/рад	2,0 · 106	2,0 · 106	—	2,0 · 106	2,0 · 106	2,0 · 106	2,0 · 106	2,0 · 106	2,0 · 106	2,0 · 106	—
Крутильная жесткость С , Н · м/рад	—	—	—	2,0 · 106	2,0 · 106	2,0 · 106	—	—	—	2,0 · 106	—
Коэффициент трения скольжения f	—	0,12	0,12	—	0,12	0,12	0,12	0,12	0,12	0,12	—
Угол 0, рад	6˚, 30˚	6˚, 30˚	6˚, 30˚	0˚, 30˚, 45˚ 60˚	0˚, 3 0˚, 45˚ 60˚	0˚, 30˚, 45˚ 60˚	0˚, 30˚, 45˚ 60˚	0˚, 30˚, 45˚ 60˚	0˚, 30˚, 45˚ 60˚	0˚, 30˚, 45˚ 60˚	1˚, 3˚
Угол 0 , рад	—	—	—	6˚, 30˚	6˚, 30˚	6˚, 30˚	6˚, 30˚	—	—	—	—
Жесткость С4, Н/м	—	—	—	—	—	—	—	—	—	—	3,0 · 108 ... 5,0 · 108
Коэффициенты A, C, D	—	—	—	—	—	—	—	—	—	—	см. табл. 6.1

Вариант 1. Взяв за основу механическую систему варианта 5 (рис. 6.2) курсовой работы, полагаем дополнительно, что к шарниру C прикреплена еще и вертикальная пружина CE жесткостью C₃.

К обобщенным координатам, указанным на рис. 6.2, вар.5, добавить координату y_С точки C на вертикальной оси, отсчитанную от положения статического равновесия пружины CE. Рекомендуемые значения постоянных приведены в табл. 6.3. 

Вариант 2. Взяв за основу механическую систему варианта 2 (рис. 6.2) курсовой работы, полагаем дополнительно, что к шарниру C прикреплена горизонтальная пружина CD с жесткостью C₂. В начальном положении пружина CD не деформирована и система находится в состоянии статического равновесия.

К обобщенным координатам, указанным на рис.6.2, добавить координату x_С точки C на горизонтальной оси, отсчитанную от положения статического равновесия пружины CD.

Вариант 3. Взяв за основу механическую систему варианта 2 (рис. 6.3) курсовой работы, полагаем дополнительно, что к шарниру C прикреплена вертикальная пружина CE жесткостью C₃.

К обобщенным координатам, указанным в вар. 2, добавить координату y_С точки C на вертикальной оси, отсчитанную от положения статического равновесия пружины CE. Рекомендуемые значения постоянных приведены в табл. 6.3. 

Вариант 4. Взяв за основу механическую систему варианта 6 (рис. 6.2) курсовой работы, полагаем дополнительно, что к шарниру C прикреплена горизонтальная пружина CD жесткостью C₂. В начальном положении пружина CD не деформирована и система находится в состоянии статического равновесия.

К обобщенным координатам, указанным на рис. 6.2, вар. 6, добавить координату x_С шарнира C на горизонтальной оси, отсчитанную от положения статического равновесия пружины CD.

Вариант 5. Полый цилиндр 3 массой m₃ скользит по направляющей 2 массой m₂, способной вращаться вокруг цилиндрического шарнира О′, закрепленного на основании 1 массой m₁. Основание закреплено в цилиндрическом шарнире C и опирается на вертикальную пружину KM с жесткостью C₁. Длина недеформированной пружины l_н, расстояние от шарнира С до точки K опоры пружины l₁. Коэффициент трения скольжения при движении цилиндра по направляющей 2f. Вращение направляющей относительно основания удерживается спиральной пружиной с крутильной жесткостью C_. Вращение основания относительно фундамента – с крутильной жесткостью C_. В точке О введены неподвижная система координат OXYZ, ось OX которой горизонтальна, и связанная с основанием система координат CX₁Y₁Z₁, ее ось CX₁ в начальном положении составляет с горизонталью угол ₀. В точке О′ введены промежуточная система координат O′X′Y′Z′, оси которой параллельны осям OXYZ, и связанная с направляющей система координат O′X₂Y₂Z₂, ее ось O′X₂ параллельна

оси цилиндра и в начальном положении составляет угол ₀ с горизонталью. Центры масс основания, направляющей и цилиндра обозначены точками O_i, где i = 1, 2, 3 соответственно. Моменты инерции основания, направляющей и цилиндра относительно осей O₁z₁, O₂z₂, O₃z₃ равны J₁, J₂, J₃ соответственно. Начальные координаты центра масс основания O₁ – x_1О, y_1О в связанной с основанием системе координат OX₁Y₁Z₁; координаты точки O′ в этой же системе координат OX₁Y₁Z₁ равны x_О′О, y_О′О, а центры масс направляющей O₂ и цилиндра O₃ имеют начальные координаты x_2О′, y_2О′, x_3О′, y_3О′ в связанной с направляющей системе координат O′X₂Y₂Z₂.

Начальное положение системы задается углом ₀ между осью CX₁ и горизонталью и углом ₀ между осью O′X₂ и горизонталью. Спиральная пружина в шарнире С в начальном положении не деформирована. При этом пружина в шарнире O′ и вертикальная пружина KM поддерживают систему в положении равновесия.

В начальный момент времени к внутренней поверхности дна цилиндра прикладывается переменная нагрузка P(t), определяемая по формуле (6.1). При этом цилиндр начинает двигаться по направляющей, вызывая вращение последней вокруг оси шарнира O′Z₂, а основание начинает вращаться вокруг оси CZ₁. Движение цилиндра тормозится реакцией R(t) тормозного устройства 4, приложенной к внешней поверхности дна цилиндра и определяемой по формуле (6.2).

Указание. В качестве обобщенных координат выбрать угол  поворота основания, составленный осью CX₁ и горизонталью, угол  поворота направляющей, составленный осью O′X₂ и горизонталью, и координату S центра масс цилиндра на направляющей, отсчитанную от его начального положения. Момент, развиваемый спиральной пружиной с жесткостью С_ , определяется в соответствии с указанием вар. 6 на рис. 6.2.

Вариант 6. Взяв за основу механическую систему варианта 5 (рис. 6.3) курсовой работы, полагаем дополнительно, что к шарниру C прикреплена горизонтальная пружина CD жесткостью C₂. В начальном положении пружина не деформирована и система находится в состоянии статического равновесия.

К обобщенным координатам, указанным в вар. 5, добавить координату точки C на горизонтальной оси, отсчитанную от положения статического равновесия пружины CD.

Вариант 7. Взяв за основу предыдущий вариант полагаем дополнительно, что к шарниру C прикреплена еще и вертикальная пружина CE с жесткостью C₃, а спиральная пружина жесткостью C_ отсутствует.

К обобщенным координатам, указанным в предыдущем варианте, добавить координату y_С точки C на вертикальной оси, отсчитанную от положения статического равновесия пружины CE.

Вариант 8. Рассмотреть механическую систему, отличающуюся от системы, представленной в вар. 5 тем, что основание 1 аналогично системе, показанной на рис. 6.2 (вар. 3), опирается на цилиндрический шарнир О, помещенный в центр масс основания (т.е. x₁₀ = y₁₀ = 0). Основание поддерживается двумя вертикальными пружинами с жесткостями С₁ и С₂, точки крепления которых К₁ и К₂ лежат на оси OX₁ и отстоят от оси шарнира на расстояния l₁ и l₂. При горизонтальном положении основания пружины не деформированы. Отсутствует спиральная пружина с жесткостью С_. Остальные указания те же, что и в вар. 5.

Вариант 9. Рассмотреть механическую систему, отличающуюся от системы вар. 5 тем, что основание 1 опирается в точках A и B на вертикальные пружины с жесткостью C₁ (см. вар. 9 и вар. 10 на рис. 6.2). Точки A и B удалены от опоры О на расстояние l₁. В точке О введены неподвижная система координат OXYZ, ось OX которой горизонтальна, и связанная с основанием система координат OX₁Y₁Z₁, ее ось OX₁ проходит через точки A и B. В начальный момент система координат OX₁Y₁Z₁ совпадает с OXYZ. Спиральная пружина в шарнире О отсутствует. Остальные указания те же, что и в вар. 5.

Вариант 10. Рассмотреть механическую систему, отличающуюся от системы вар.5 тем, что основание 2 (см. вар. 7 и 8 на рис. 6.2) установлено на осях колес 1. Масса каждого колеса m₁, радиус колес R. Вращение колес сдерживается спиральной пружиной с крутильной жесткостью C_. Колеса представляют собой однородные диски, катящиеся по прямому рельсу без проскальзывания. Остальные указания те же, что и в вар. 5.

Вариант 11. Твердое цилиндрическое тело массой m движется поступательно вдоль оси OY цилиндрической трубы под действием выталкивающей силы Q(t), являющейся функцией времени, ее величина определяется по формуле (6.5).

На теле имеются два пояса одинаковых упругих амортизаторов (по четыре амортизатора в каждом). При движении твердого тела они скользят по направляющим. Амортизаторы находятся в сжатом состоянии. На твердое тело действуют реакции амортизаторов, направленные по нормали к поверхности тела. Величина реакций .

Амортизаторам в каждом поясе присвоены номера 1, 2, 3, 4. Удлинения нечетных амортизаторов , а четных  , где – заданная величина удлинения амортизатора, соответствующая положению, при котором оси тела и трубы совпадают.

На опорные поверхности амортизаторов в процессе движения действует сила трения скольжения, направленная в сторону, противоположную оси OY. Коэффициент трения скольжения определяется зависимостью (6.4).

В начальный момент времени ось тела смещена относительно оси трубы в поперечном направлении так, что точка С имеет координаты x_co и z_co, отличные от нуля.

Записать дифференциальные уравнения движения твердого тела и рассчитать конкретное движение на ЭВМ.

Указание. В качестве обобщенных координат выбрать координаты x_С, y_С, z_С центра масс тела в системе координат OXYZ, неизменно связанной с трубой.