3.2. Углы Эйлера
В тех случаях, когда угловая скорость вращения в одном направлении значительно больше, чем в двух других (генераторы, моторы, турбины, гироскопы), для определения положения тела в качестве трех независимых параметров выбирают три угла Эйлера: угол прецессии (t), угол нутации (t) и угол ротации (собственного вращения) (t). Их названия заимствованы из астрономии.
Чтобы задать эти углы, рассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной точки О. Пусть даны некоторая система отсчета и связанная с ней неподвижная система координат ОXYZ, относительно которой движется твердое тело, и связанная с твердым телом система координат Оxyz, которая движется относительно первой (рис. 3.6 … 3.8). Это означает, что первая и вторая системы координат имеют общее начало O, а углы, образуемые осями Оxyz с осями ОXYZ, изменяются, т.е. система Оxyz поворачивается вместе с твердым телом вокруг неподвижной точки О (рис. 3.5 … 3.8).
Р
ис.
3.6
Рис. 3.7
Плоскость
ОXZ
(заштрихованный овал) пересекает
плоскость Оxz
(белый овал) по некоторой (рис. 3.8) прямой
Оz(1)
=Оz(2)
= OE,
образующей угол
с неподвижной осью ОZ,
и угол
с подвижной осью Оz,
которая называется «линией
узлов»
ОЕ
с единичным ортом
.
Кроме того, плоскость Оxz
образует с плоскостью ОXZ
угол ,
равный углу между осями ОY
и Оy.
Рис. 3.8
Неподвижная
ось ОY,
вокруг
которой
поворачивается
твердое тело на угол
прецессии
,
называется
осью прецессии
с единичным ортом
.
Изменение угла нутации сопровождается вращением твердого тела вокруг линии узлов Оz1 = Оz2 = OE, называемой осью нутации.
Наконец,
угол ротации
(собственного вращения)
характеризует вращение тела вокруг оси
Oy
= Oy2,
называемой осью
ротации (собственного
вращения) с
единичным ортом
.
На рис 3.6 … 3.8 все углы положительные, т.е. против хода часовой стрелки, если смотреть на поворот тела с положительных направлений осей вращения OY, OE и Oy.
Движение
твердого тела в любой момент времени
полностью определяется положением
подвижной связанной с твердым телом
системы координат Оxyz
относительно
неподвижной системы координат ОXYZ,
т.е. заданием кинематических уравнений
вращения тела вокруг неподвижной точки
О:
угла прецессии
,
угла
нутации
и
угла
ротации
(собственного
вращении)
.
3.3.Формулы преобразования координат. Поворотные матрицы
Для
любой точки М
тела с координатами x,
y,
z в подвижной
системе координат Оxyz,
жестко связанной с ним, и с ее же
координатами X,
Y,
Z в неподвижной
системе координат ОXYZ
в соответствии с (3.10), взаимосвязь
проекций вектора точки
на
оси двух систем координат [X]н
и [x]п
имеет вид
, (3.14)
или
, (3.15)
где
,
,
углы Эйлера;
матрица, транспонированная к матрице
направляющих косинусов
,задающей
преобразование поворота от осей
неподвижной системы OXYZ
(с базисом
[X]н
)
к осям
подвижной системы Оxyz
(с базисом [x]п
), неизменно
связанной с телом. Транспонированная
матрица
получается путем замены в матрице
строк на столбцы. Выражение
находим из формул преобразований
координат при переходе от одной системы
к другой: [X]н
[x1]
[x2]
[x]п
, из
которых две системы [x1]
и [x2]
промежуточные.
Переход от осей системы [X]н к осям системы [x1] осуществляется поворотом на угол прецессии ψ вокруг неподвижной OY – оси прецессии системы [X]н (рис. 3.9 … 3.11).
Переход
от осей системы
[x1]
к осям системы
[x2]
осуществляется поворотом на угол
нутации
θ вокруг
оси
системы
[x1]
(рис.
3.5 … 3.11,б).
Рис. 3.9
Переход
от осей системы
[x2]
к осям
системы
[x]п
–
поворотом на угол
ротации
(собственного
вращения ) φ
вокруг оси
системы
[x2]
.
а б в
Рис. 3.10
Формулы преобразования координат получаем, рассмотрев переход от системы ОXYZ ([X]н) к системе Оxyz ([x]п ), выполненный с помощью трех поворотов:
1.
Поворота системы ОXYZ
вокруг второй из координатных осей ОY
на угол прецессии ψ, т.е. [X]н
[x1],
ОXYZ
,
причем
(рис. 3.9 … 3.11,а).
Координаты систем координат ОXYZ
и
(рис. 3.11,a)
связаны соотношениями
X = x1 cos + 0 + z1 sin ,
Y = 0 + y1 + 0 ,
Z = x1 sin + 0 + z1 cos ,
или в матричной форме
[X] ={2} т [x1], (3.16)
где
поворотная матрица {2}
т =
(3.17)
описывает поворот вокруг второй оси ОY на угол прецессии ψ .
а б
Рис. 3.11
2.
Поворота системы
вокруг третьей из коорди-натных осей
на угол
нутации
θ, т.е.
[x1] [x2],
,
при этом
=
(рис. 3.7,3.9, 3.11,б).
Формулы преобразования координат, как видно из рис. 3.11,б, при этом таковы:
x1 = x2 cos y2 sin + 0,
y1 = x2 sin + y2 cos + 0,
z1 = 0 + 0 + z 2,
или в матричной форме
[x1] = {3 } т [x2], (3.18)
где
матрица {3
}
т =
(3.19)
описывает поворот вокруг оси 0z1 на угол нутации .
3.
Поворота системы
вокруг второй из координатных осей
на угол
ротации
(собственного
вращения )
φ, т.е.
[x2]
[x]п
(рис. 3.7, 3.9 … 3.11,а)
,
Cxyz,
поэтому
формулы преобразования координат, как
видно из рис. 3.11,а,
имеют вид
x(2) = x cos + 0 + z sin ,
y(2) = 0 + y + 0 ,
z(2) = x sin + 0 + z cos ,
или в матричной форме
[x2 ] = { 2 }т [x], (3.20)
поворотная матрица { 2 }т аналогична (3.17) {2} т:
{2φ}
т =
. (3.21)
Подставляя в (3.16) соотношение (3.18), получаем промежуточную формулу преобразования координат, которая может понадобиться в дальнейшем
[X] ={2} т {3} т [x(2)] , (3.22)
где промежуточная поворотная матрица {2,3 }т находится как произведение двух матриц поворота,
{ 2,3 }т = { 2}т {3 } т =
= = (3.23)
=
.
Подставим в (3.16) формулы (3.18) и (3.20):
[X] ={2} т {3} т {2 }т [x]. (3.24)
Сравнивая выражения (3.15) и (3.24), находим, что искомая поворотная матрица является произведением трех матриц поворота (3.17), (3.19), (3.21):
{,, } т = = { 2} т { 3 } т { 2 } т =
= =(3.25)
При заданном законе сферического движения выражения (3.15) и (3.25) позволяют определить искомый закон движения и траекторию выбранной точки твердого тела.