Обработка результатов прямых измерений

Прямые измерения — это измерения, при которых измеряемая величина определяется непосредственно с помощью средства измерения.

Оценка систематической погрешности

Пусть при одинаковых условиях проведены многократные измерения. Если все результаты одинаковы, то случайная погрешность отсутствует. В этом случае истинное значение отличается от измеренного не более чем на величину систематической погрешности.

При измерении с помощью прибора со шкалой систематическая погрешность состоит из погрешности отсчета и погрешности, обусловленной несовершенством измерительного прибора. Погрешность отсчета может стать незначительной при тщательном измерении. Тогда погрешность определяется по классу точности измерительного прибора. Класс точности – это выраженное в процентах отношение систематической погрешности к пределу измерения. Например, предел измерения вольтметра 200 В, класс точности 0,5, тогда систематическая погрешность

= 1 В.

Она одинакова как в начале шкалы, так и в конце. Поэтому измерения следует вести близко к пределу измерения, так как относительная погрешность будет при этом меньше. Если класс точности или сама систематическая погрешность в паспорте прибора не указаны, то систематическую погрешность принимают равной половине или единице цены деления шкалы, а для цифровых приборов – единице последнего разряда измеряемой величины. Если в расчетах используют табличное или ранее измеренное значение, то погрешность принимается равной половине единицы последнего разряда, например для числа = 3,141, = 0,0005.

Оценка случайной погрешности

Пусть результаты измерений различны: . В силу случайности величины и знака случайной погрешности положительные и отрицательные значения погрешности одинаковой величины равновероятны, и погрешности малой величины более вероятны, чем большой.

Разность между истинным и средним арифметическим значениями также случайна и теория вероятностей позволяет лишь оценить доверительный интервал – интервал значений, внутри которого находится истинное значение с некоторой вероятностью. А доверительная вероятность – это вероятность попадания истинного значения в доверительный интервал. Истинное значение может находиться и вне доверительного интервала с вероятностью (рис. 1).

П оловина ширины доверительного интервала имеет смысл наибольшей разности между средним арифметическим и истинным значением при данной доверительной вероятности. В дальнейшем эта величина будет являться оценкой случайной погрешности.

Случайная погрешность зависит, во-первых, от разброса результатов измерений. В качестве меры разброса принимают среднеквадратичное отклонение результатов измерений от среднего арифметического:

.

В интервал попадает 68 % числа измерений, при . Если не возводить в квадрат, то положительные и отрицательные отклонения скомпенсируют друг друга.

Во-вторых, с увеличением числа измерений среднее арифметическое значение приближается к истинному как и при случайная погрешность . Отсюда понятна необходимость многократных измерений. Разумное наибольшее число опытов должно быть таким, чтобы случайная погрешность уменьшилась бы до величины систематической погрешности.

В-третьих, чем большую доверительную вероятность желает гарантировать экспериментатор, тем больше должен быть доверительный интервал. Это учитывается коэффициентом Стьюдента , который возрастает с увеличением доверительной вероятности, и зависит от числа измерений.

Таким образом, расчетная формула для оценки случайной погрешности принимает вид

= , (2)

где – число повторных измерений, – результат некоторого измерения с номером , – среднее арифметическое результатов измерений, – коэффициент Стьюдента, определяемый по табл. 1.

Порядок обработки результатов

В данном пособии знаком * отмечены формулы, которые непосредственно применяются для обработки результатов измерений.

При прямых многократных измерениях в соответствии с ГОСТ 8207-76 порядок обработки результатов измерений следующий.

1. Вычисляют среднее арифметическое значение измеряемой величины (принимая его за оценку истинного значения) по формуле (1).

2. Задавшись доверительной вероятностью = 0,90 или = 0,95 по табл. 1 определяют коэффициент Стьюдента. Оценивают случайную погрешность по формуле (2). Для удобства определения суммы квадратов разностей рекомендуется расчеты проводить в табл. 2.

Таблица 1

Коэффициенты Стьюдента

	3	4	5	6	8	10	20
= 0,90	2,9	2,4	2,1	2,0	1,9	1,8	1,7
= 0,95	4,5	3,2	2,8	2,6	2,4	2,3	2,1

Таблица 2

Расчет суммы квадратов разностей

№
1
2
…
	= …	…

3. Оценить систематическую погрешность .

4. Оценить суммарную погрешность. Если одна из погрешностей меньше другой в три или более раз, то меньшей погрешностью следует пренебречь. Если обе погрешности сравнимы, то суммарная погрешность оценивается по формуле

.

5. Погрешность представляют числом, содержащим не более двух значащих цифр.

6. Записать результат измерений в виде

, …,

который следует понимать так: истинное значение измеряемой величины находится в интервале от до с вероятностью . При записи среднее арифметическое округляют так, чтобы разряд последней цифры совпадал с разрядом погрешности.