Примеры решения задач

З а д а ч а 1

Материальная точка массой m = 1 кг двигалась под действием некоторой силы согласно уравнению S = 3t + 5t², м. Определить работу силы за время, равное 1 с, среднюю мощность за это время; мгновенную мощность в момент времени 1 с.

Д а н о Р е ш е н и е

m = 1 кг S = 3t + 5t2, м t1 = 1 c ___________________ А – ? – ? N1 – ?

Работа силы , где угол  = 00. Модуль силы можно определить по второму закону Ньютона F = ma.

Модуль ускорения – это вторая производная пути по времени

а =  = S = (3t + 5t²) = 10 м/с².

Определим работу

= maS = ma (3t + 5t²).

А = 110(31 + 51) = 80 Дж.

Средняя мощность

= = 80 Дж/1 с = 80 Вт.

Мгновенная мощность

= ma(3t + 5t²) = ma(3 + 10t).

N₁ = 110(3 + 101) = 130 Вт.

Ответ: работа силы 80 Дж, средняя мощность силы 80 Вт, мгновенная мощность 130 Вт.

З а д а ч а 2

Автомобиль массой 3,0 т движется в гору с углом наклона 30⁰ с ускорением 0,2 м/с². Какую работу совершает двигатель автомобиля при подъеме на эту гору, если длина горы 50 м? Коэффициент трения между шинами автомобиля и горой 0,10. Какова средняя мощность, развиваемая двигателем при подъеме?

Д а н о Р е ш е н и е

m = 3,0 т = 3,0103 кг L = 50 м  = 300 а = 0,20 м/с2  = 0,10 ___________________ А – ? Nср – ?

Автомобиль принимаем за материальную точку. Р Х ассмотрим два состояния автомобиля: первое – в начале подъема, второе – в конце подъема, проведем вектор перемещения из начального состояния в конечное. Систему координат удобно выбрать так, как это показано на рис. 51.

У



0

Рис. 51

Так как автомобиль движется с постоянным ускорением, значит силы, действующие на автомобиль, остаются постоянными за все время движения. Для определения работы силы тяги применим формулу работы постоянной силы

, (1)

где  – угол между векторами силы и перемещения . S – пройденный телом путь.

Средняя мощность определяется по формуле

, (2)

где t – время движения автомобиля.

Для определения силы тяги воспользуемся вторым законом Ньютона.

.

На автомобиль действуют: – сила тяжести, – сила трения, – сила тяги, – сила нормальной реакции опоры (рис. 52).

. (3)

Перепишем уравнение (3) в проекциях на оси 0Х и 0У:

(4, 5)

Х

С ила трения скольжения вычисляется по формуле

, (6)

г

У

де  – коэффициент трения между шинами автомобиля и поверхностью горы.

Р

ешая совместно уравнения (4–5) относительно F_т, получаем



. (7)

Рис. 52

Следовательно,

. (8)

Определим время движения автомобиля по наклонной плоскости t. Зависимость координаты от времени в данном случае имеет вид

.

Тогда .

Откуда

. (9)

Следовательно,

.

Сделаем вычисления:

А = 9,110⁵ Дж,

N_ср = 3,810⁴ Вт.

Ответ: Двигатель совершает работу 9,110⁵ Дж и развивает среднюю мощность 3,810⁴ Вт.

З а д а ч а 3

Камень скользит сначала вниз по наклонной плоскости с углом наклона 30⁰, а затем по горизонтальной поверхности. Определить коэффициент трения, если известно, что тело проходит по горизонтальной поверхности такое же расстояние, как и по наклонной плоскости.

Д а н о Р е ш е н и е

 = 300 S1 = S2 = S ____________  – ?

Рассмотрим систему тел камень–плоскость–Земля. Эта система замкнута. Камень можно принять за материальную точку. Все тела, кроме камня, мы считаем неподвижными, поэтому достаточно рассмотреть только изменение состояния камня и силы, действующие на него (рис. 53).

Задачу можно решать динамическим и энергетическим методами. В первом случае нужно составить и решить уравнения движения, во втором – использовать соотношение между работой и энергией.

Воспользуемся последним методом. В данном случае изменение полной механической энергии равно работе сил трения

, (2)

где Е₁ и Е₂ – полные механические энергии системы в состояниях 1 и 2 соответственно (рис. 53).

В данной задаче состояние 1 соответствует началу движения камня, а состояние 2 – окончанию движения камня. Полная механическая энергия системы в этих состояниях

Е₁ = Е_1К + Е_1Р, Е₂ = Е_2К + Е_2Р.

У

У₁

1

Н

2



Х₁

0

Рис. 53

За нулевой уровень отсчета потенциальной энергии примем горизонтальную поверхность, тогда

Е_1Р = mgH, Е_2Р = 0.

Скорость камня в обоих состояниях равна нулю, поэтому

Е_1К = 0, Е_2К = 0,

а высота наклонной плоскости находится из геометрических соображений:

Н = S₁sin. (3)

Следовательно, изменение механической энергии системы равно

. (4)

Работу сил трения представим как сумму работ при перемещении по наклонной плоскости А₁ и по горизонтальной поверхности А₂:

,

,

,

где ₁ и ₂ – углы между векторами сил трения и соответствующего перемещения: ₁ = ₂ = 180⁰.

Учтя, что F_тр = N и S₁ = S₂ = S, получим

, (5)

Поставив выражения (4) и (5) в формулу (2), получим

,

. (6)

Для определения сил нормальных реакций N₁ и N₂, запишем уравнения движения камня по наклонной и горизонтальной плоскостям:

, (7)

. (8)

Перепишем уравнения движения в проекциях: (7) на ось 0У, (8) – на 0У₁:

Подставив значения N₁ и N₂ в выражение (6), получим:

= 0,27.

Ответ: коэффициент трения скольжения равен 0,27.

З а д а ч а 4

Самолет массой 5,010³ кг при горизонтальном полете двигался с постоянной скоростью 360 км/ч. Затем он поднялся на 2,0 км. При этом скорость самолета уменьшилась до 180 км/ч. Определить работу равнодействующей силы и каждой из сил, действующих на самолет, за время подъема.

Д а н о Р е ш е н и е

m = 5,0103 кг 1 = 360 км/ч = 1,0102 м/с 2 = 180 км/ч = 50 м/с h = 2,0 км = 1,0103 м ________________________ А – ?, Аi – ?

В рассматриваемую систему взаимодействующих тел можно включить: 1) один самолет; 2) самолет и Землю; 3) самолет, Землю и воздух. В третьем случае система будет замкнута, а в двух других – незамкнута. Наиболее удобно в данном случае в систему включить только самолет. Самолет будем считать материальной точкой.

Д

У

1.

2.

У

вижение самолета рассмотрим в системе отсчета, связанной с Землей. Начало координат поместим в ту точку, в которой находился самолет, когда он начал набирать дополнительную высоту. Направление координатных осей указано на рис. 54.

h

Х

Рис. 54

На самолет действуют силы: тяжести , сопротивления воздуха , тяги двигателя .

Работу результирующей силы можно определить с помощью теоремы о кинетической энергии: изменение кинетической энергии тела равно алгебраической сумме работ всех сил, действующих на тело:

А = Е_К.

В данном случае

А = А₁ + А₂ + А₃,

где А₁ – работа силы тяжести, А₂ – работа силы сопротивления, А₃ – работа силы тяги.

Работу каждой из сил, если считать, что они постоянные, можно вычислить по формуле

А = FScos. (1)

Рассмотрим два состояния системы (рис. 54). Первое состояние соответствует моменту, в который самолет начал набирать высоту, второе – моменту окончания набора высоты.

Кинетическая энергия самолета в этих состояниях Е_1К и Е_2К соответственно:

.

Следовательно,

. (2)

Теперь определим работу каждой силы. Воспользоваться формулой (1) мы не можем: во-первых, неизвестны S и cos ; во-вторых, неизвестны силы F_C и F_т и, из-за недостатка данных, их невозможно определить, а поэтому нельзя определить и работу каждой из этих сил. Для определения работы силы тяжести воспользуемся одним из свойств этой силы: работа силы тяжести не зависит от траектории, а зависит только от начального и конечного состояния тела. Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии со знаком минус

А₁ = –Е_Р = – (Е_2Р – Е_1Р).

За нулевой уровень отсчета потенциальной энергии примем начальную высоту самолета, тогда

Е_1Р = 0, Е_2Р = mgh.

Следовательно,

А₁ = –mgh. (3)

Суммарная работа силы тяги и сопротивления будет равна

А₂ + А₃ = А – А₁. (4)

Подставим числовые данные в (2–4) и сделаем вычисления

А = – 1,910⁷ Дж; А₁ = –1010⁷ Дж; А₂ + А₃ = 8,110⁷ Дж.

Ответ: работа результирующей силы – 1,910⁷ Дж; работа силы тяжести – 1010⁷ Дж; суммарная работа сил тяги двигателя и сопротивления 8,110⁷ Дж.

З а д а ч а 5

Пуля массой 10 г попадает в деревянный брусок массой 10 кг, подвешенный на нитях, и застревает в нем. Определить, на какую высоту поднимается брусок, если скорость пули 200 м/с.

Д а н о Р е ш е н и е

m1 = 1,010–2 кг m2 = 1,0 кг  = 200 м/с _______________ Н – ?

Рассмотрим систему взаимодействующих тел пуля–брусок–нити–Земля. Будем считать, что пуля – материальная точка; нить – невесомая и нерастяжимая; брусок, движущийся поступательно, также может быть заменен материальной точкой.

С

У

У

У

истему отсчета свяжем с Землей. За начало координат примем точку, в которой находился центр масс бруска до удара. Направление координатных осей показано на рис. 55. Рассмотрим три состояния системы. Состояние 1 – перед ударом пули в брусок. Скорость пули , бруска – 0. Состояние 2 – сразу после удара пули в брусок. Скорость бруска с пулей равна . Состояние 3 – в момент максимального отклонения бруска с пулей от положения равновесия. Брусок с пулей поднялся на высоту Н от начального уровня.

Н

0

Х

Х

Х

0

0

1) 2) 3)

Рис. 55

Система замкнутая. Все силы, возникающие в результате взаимодействия тел системы: тяжести ; упругой реакции нити; сопротивления, возникающая при взаимодействии пули и бруска, являются внутренними. При переходе системы из состояния 1 в состояние 2 выполняется закон сохранения импульса

(1)

и не выполняется закон сохранения механической энергии, так как действуют силы сопротивления

(Е₁ > Е₂).

При переходе тел из состояния 2 в состояние 3 в замкнутой системе нет сил сопротивления, следовательно, выполняются оба закона сохранения. Свой импульс брусок с пулей передает Земле. Скорость Земли будет очень мала, поэтому можем не учитывать ее вклад в кинетическую энергию в состоянии 2:

Е₂ = Е₃. (2)

Импульс системы в состоянии 1

.

Импульс системы в состоянии 2

.

Полная энергия системы в состоянии 2

.

За нулевой уровень отсчета потенциальной энергии примем уровень, проходящий через положение равновесия бруска (см. рис. 55), поэтому Е_2Р = 0.

Полная энергия системы в состоянии 3

.

Подставив выражения импульсов в (1), а значения энергий в (2), получим систему уравнений:

Выразим Н из второго уравнения системы

.

Первое уравнение системы перепишем в проекциях на ось Х и определим скорость U:

.

Подставив значение скорости в выражении (3), получим

.

Проверим единицы измерения

.

Произведем вычисления: Н = 0,2 м.

Ответ: брусок поднимется на высоту 0,2 м.

З а д а ч а 6

Небольшое тело соскальзывает вниз по наклонному желобу, переходящему в «мертвую петлю» радиусом R. Трением пренебрегаем. С какой минимальной высоты должно начать двигаться тело, чтобы не оторваться от желоба в верхней точке траектории?

Д а н о Р е ш е н и е

m R ___________ hmin – ?

Будем считать, что тело – материальная точка. Движение тела рассмотрим в системе отсчета, связанной с Землей. Выделим два состояния тела: 1 – тело находится на вершине наклонного желоба; 2 – тело находится в верхней точке «мертвой петли» (рис. 56).

1

m

2

h_min

h = 2R

R

X

Рис. 56

По теореме о кинетической энергии: изменение кинетической энергии тела Е_К равно алгебраической сумме работ А всех сил, действующих на тело, т.е.

Е_К = Е_2К – Е_1К = А. (1)

В данном случае на тело действуют две силы: сила тяжести и нормальной реакции опоры , поэтому

А = А₁ + А₂,

где А₁ – работа силы тяжести, А₂ – работа силы нормальной реакции.

Работа сил тяжести равна со знаком минус изменению потенциальной энергии

А₁ = – Е_П. (2)

За нулевой уровень отсчета потенциальной энергии примем поверхность Земли, тогда

Е₁ = mgh, Е₂ = mg2R.

A₂ = N₂Scos 90⁰ = 0. (3)

Кинетическая энергия тела

Е_1К = 0, Е_2К = . (4)

Следовательно,

= mgh – mg2R,

gh = + 2gR. (5)

В выражении (5) неизвестны h и .

Точка 2 – вершина «мертвой петли»; тело попадает в эту точку, двигаясь по окружности радиуса R. Укажем силы, действующие на тело в момент прохождения точки 2 (рис. 57).

1

У

2

X

Рис. 57

Уравнение второго закона Ньютона для тела в точке 2:

. (6)

Перепишем (5) в проекциях на ось 0У (рис. 57)



(7)

где а_ц – центростремительное ускорение тела, движущегося по окружности,

. (8)

Подставим (8) в (7):

. (9)

Итак, получили систему из уравнений (5) и (9):

(10)

Проанализируем, при каком условии h принимает минимальное значение. Из (10) видно, что h = h_min при  = _min, а  принимает минимальное значение при N = 0, то есть когда верхнюю точку «мертвой петли» тело проходит, не производя давления на желоб.

С учетом анализа перепишем (10) в виде:

(11)

Решив (11) относительно h_min, получим:

h_min = 2,5R.

Ответ: минимальная высота, с которой должно двигаться тело 2,5R.

З а д а ч а 7

Конькобежец, стоя на льду, бросил вперед гирю массой 5 кг, сообщив ей скорость 12 м/с (относительно льда), и вследствие «отдачи» покатился назад. Определить работу, которую совершил конькобежец при бросании гири, если его масса 60 кг.

Д а н о Р е ш е н и е

m1 = 5 кг 1 = 12 м/с m2 = 60 кг А – ?

Рассмотрим систему – гиря и конькобежец, примем их за материальные точки. Рассмотрим два состояния системы: 1 – в начале времени взаимодействия конькобежца с гирей (перед броском); 2 – в конце их взаимодействия (сразу после броска) (рис. 58).

1

2

m₂

m₂

m₁

m₁

Е_р = 0

0

Х

Рис.58

Е_2К – Е_1К = А + А_N + A_mg,

где А_N – работа силы нормальной реакции; A_mg – работа силы тяжести.

A_mg = А_N = 0.

По теореме о кинетической энергии

Е_2К – Е_1К = А, (1)

где А – работа, которую совершает человек при броске.

Кинетическая энергия системы Е_1К перед броском равна нулю, так как конькобежец и гиря покоятся, а сразу после броска кинетическая энергия Е_2К складывается из кинетической энергии гири и конькобежца:

(2)

Подставим (2) в (1):

– 0 = А. (3)

В выражении (3) неизвестна ₂ – скорость движения конькобежца сразу после броска.

Так как сумма внешних сил равна нулю, то в системе выполняется закон сохранения импульса

, (4)

где – полный импульс системы тел до броска, = 0. (5)

– полный импульс системы сразу после броска, он складывается из импульсов гири и конькобежца:

. (6)

Подставим (5) и (6) в (4):

0 = . (7)

Перепишем (7) в проекциях на ось 0Х (рис. 58) и определим ₂:

= 0. (8)

.

Подставим (3) в (8)

.

Сделаем вычисления: А = 390 Дж.

Ответ: работа, которую совершил конькобежец при бросании гири, равна 390 Дж.

З а д а ч а 8

Определите работу, которую нужно произвести для того, чтобы сжать пружину на х₁ = 10 см, если для сжатия ее на х₀ = 1,0 см необходима сила F₀ =

= 1,010² Н.

Д а н о Р е ш е н и е

х1 = 10 см = 1,010–1 м х0 = 1,0 см = 1,010–2 м F0 = 1,0102 Н ____________________ А – ?

В задаче рассматривается упругодеформируемая пружина. Задачу можно решить двумя способами. Для описания движения частей пружины достаточно выбрать одну ось 0Х, совместив начало оси с положением конца недеформированной пружины

(рис. 59 а). При действии на пружину деформирующей силы F₀ конец пружины смещен на величину х₀ относительно первоначального положения (рис. 59 в), а при действии силы F₁ – на величину х₁ (рис. 59 с).

а

0

Х

в

х₀

Х

0

с

0

х₁

Х

Рис. 59

Первый способ решения задачи.

По третьему закону Ньютона сила, деформирующая пружину , численно равна и противоположно направлена силе упругости , действующей со стороны деформированной пружины на сжимающее ее тело:

= – ; = .

Модуль силы упругости, согласно закону Гука определяется выражением

,

в котором k – коэффициент жесткости пружины.

Следовательно,

. (1)

Эта сила не постоянна. Она меняется от = 0 при х = 0 до при х = х₁.

Работу переменной силы найдем следующим образом. Запишем выражение элементарной работы, учитывая, что сила деформации сонаправлена с перемещением конца пружины ( ):

.

Учитывая выражение (1), получаем

dA = kx dx. (2)

Полную работу, совершенную силой деформации при сжатии пружины на величину х₁, получим, проинтегрировав выражение (2) по х в пределах от х = 0 до х = х₁:

. (3)

В полученном выражении неизвестен коэффициент жесткости пружины k. По условию задачи для сжатия пружины на х₀ необходима сила F₀, которая, согласно выражению (1), равна

F₀ = kx₀, отсюда .

Следовательно,

.

Подставим в полученную формулу известные величины и сделаем вычисления:

А Дж.

Второй способ решения задачи.

Работа деформирующей силы равна изменению потенциальной энергии пружины

А_деф = Е_П.

Потенциальная энергия упруго деформированной пружины

,

где k – коэффициент жесткости пружины.

Следовательно, потенциальная энергия пружины в состояниях а и с равна соответственно

Е_1П = 0,

Е_2П = ,

следовательно

А = .

Коэффициент k определим из условия

F₀ = kx₀,

,

поэтому .

Ответ: работа сжатия пружины 50 Дж.

З а д а ч а 9

Какую наименьшую работу надо совершить, чтобы намотать на тонкий стержень, висящий горизонтально над окном, штору длиной 2,5 м и массой 1,0 кг? Трением пренебречь.

Д а н о Р е ш е н и е

L = 2,5 м m = 1,0 кг ____________ А – ?

Задачу можно решить двумя способами. Первый способ решения задачи. Изобразим схематически рисунок к задаче. На рис. 60 – внешняя сила, приложенная к шторе при ее подъеме для наматывания на стержень В.

Рассмотрим движение шторы в системе отсчета, в которой телом отсчета является пол (точка О), а ось направлена вертикально вверх, как показано на рисунке. Согласно условию задачи можно считать, что штора перемещается поступательно. Поэтому для описания движения шторы достаточно изучить движение ее одной точки – центра С свисающей части шторы. Выясним основные закономерности этого движения.

В

В

L – х

С

С

L

х

Рис. 60

В задаче следует найти работу по подъему шторы, то есть работу, совершаемую силой . Для этого необходимо выяснить, остается ли она постоянной при перемещении шторы. Так как в задаче говорится о наименьшей работе силы при поднятии шторы, то можно считать, что штору поднимают без ускорения. Итак, движение шторы равномерно. Следовательно, сила, действующая на штору, уравновешивается силой тяжести шторы (силой сопротивления воздуха в условии задачи пренебрегают). Но так как по мере наматывания шторы на стержень длина свисающей части ее будет уменьшаться, то сила тяжести ненамотанной части шторы будет также уменьшаться. Следовательно, и сила будет величиной переменной и сонаправленной с перемещением точки приложения этой силы.

Элементарная работа силы

dA = F cos0⁰ dx, (1)

где dx – модуль перемещения точки приложения силы .

Для нахождения зависимости силы от перемещения поступим следующим образом. Обозначим массу единицы длины шторы через m₀, которая равна

, (2)

а длину ненамотанной на стержень шторы через L – х (рис. 60). Тогда сила тяжести этой части шторы, а следовательно, и сила , определится выражением

. (3)

Решая совместно уравнения (1–3), получаем

,

или

.

Полную работу найдем, интегрируя полученное выражение по х от х = 0 до х = L:

;

А = 12 Дж.

Второй способ решения задачи.

Наиболее просто эта задача решается при использовании энергетического подхода. На штору действует внешняя неконсервативная сила, поэтому изменение полной механической энергии системы равно работе этой силы:

Е = Е₂ – Е₁ = А.

Кинетическая энергия в обоих состояниях равна нулю, а поэтому полная энергия равна потенциальной энергии Е_п, которая определяется положением центра масс шторы.

Следовательно,

, а Е_2п = mgL, (рис. 60).

Отсюда следует, что

Е = Е_2п – Е_1п = .

= 12 Дж.

Ответ: минимальная работа 12 Дж.

З а д а ч а 10

Ракета установлена на поверхности Земли для запуска в вертикальном направлении. При какой минимальной скорости ₁, сообщенной ракете при запуске, она удалится от поверхности на расстояние, равное радиусу Земли (R=6,3710⁶м)? Всеми силами, кроме силы гравитационного взаимодействия ракеты и Земли, пренебречь.

Д а н о Р е ш е н и е

R = 6,37106 м ______________ 1 – ?

Рассмотрим движение ракеты в поле тяжести Земли. Минимальную скорость ракеты 1 можно определить, зная ее минимальную кинетическую энергию Е1К. Для определения Е1К

воспользуемся законом сохранения механической энергии.

Этот закон выполняется для системы тел, в которой действуют только консервативные силы. Единственная сила, действующая на ракету, – гравитационная относится к разряду консервативных.

Согласно закону сохранения механической энергии, можно написать

Е = Е_1К + Е_1Р = Е_2К + Е_2Р, (1)

Е = .

где Е_1К и Е_1Р – кинетическая и потенциальная энергии ракеты в начальном состоянии (на поверхности Земли); Е_2К и Е_2Р – те же величины в конечном состоянии (на расстоянии, равном радиусу Земли) (рис. 61), М – масса Земли, m – масса ракеты.

2R

R

М

Рис. 61

Е_1К – это начальная кинетическая энергия ракеты:

.

Потенциальная энергия ракеты в начальном состоянии

.

По мере удаления ракеты от поверхности Земли ее потенциальная энергия будет возрастать, а кинетическая – убывать. В конечном состоянии кинетическая энергия Е_2К станет равной 0, а потенциальная энергия Е_2Р достигнет максимального значения:

+ const.

Подставляя значения Е_1К, Е_1Р, Е_2К и Е_2Р в выражение (1), получаем

,

откуда после сокращения на m найдем

.

Заметив, что (g – ускорение свободного падения у поверхности Земли), перепишем эту формулу в виде

,

что совпадает с выражением для первой космической скорости. Подставим числовые значения величин и произведем вычисления:

₁ м/с = 7,910³ м/с.

Ответ: минимальная скорость ракеты 7,9  10³ м/с.

З а д а ч а 11

Паровой молот m₁ = 12 т (рис. 62) падает со скоростью ₁ = 5,0 м/с на наковальню, масса которой вместе с отковываемым куском железа m₂ = 250 т. Определить производимую молотом работу расплющивания железа и энергию, потерянную на сотрясение фундамента, считая удар абсолютно неупругим.

Д а н о Р е ш е н и е

m1 = 12 т = 1,2104 кг 1 = 5,0 м/с m2 = 250 т = 2,5105 кг _____________________ А – ? Е – ?

Рассмотрим систему, состоящую из молота, наковальни с отковываемым куском железа, опоры, на которой стоит наковальня, и Земли. Эта система замкнута, но не консервативна (сила деформации железа при неупругом ударе неконсервативна). Поэтому убыль механической энергии

равна работе силы деформации железа:

А = Е₁ – Е₂. (1)

Здесь Е₁ – механическая энергия системы в первом состоянии (до удара); Е₂ – механическая энергия системы во втором состоянии (после удара).

Так как удар между молотом и наковальней абсолютно неупругий, следовательно, наковальня и молот после удара будут двигаться вместе с одинаковой скоростью .

Решим задачу в системе отсчета, связанной с Землей, ось 0Х которой направлена вертикально вниз. Выделим три состояния системы (рис. 62).

m₁

m₁

m₁

m₂

m₂

m₂

Х

1 2 3

Рис. 62

Оценим механическую энергию системы в каждом состоянии.

Е = Е_П + Е_К.

Пренебрегая незначительным перемещением тел по вертикали во время удара, положим потенциальную энергию системы в обоих состояниях равной нулю:

Е_1Р = Е_2Р = 0.

Кинетические энергии системы:

, .

Тогда механические энергии:

(2)

(3)

Из уравнений (1–3) получим

– . (4)

Для нахождения скорости U воспользуемся законом сохранения импульса. Этот закон применим, так как рассматриваемая нами система тел замкнута.

,

где и – полный импульс системы соответственно до и после удара:

,

.

В проекциях на ось ОХ

. (5)

Решив совместно уравнения (4) и (5) относительно А, получим, что работа расплющивания железа

;

А Дж,

А = 1,410⁵ Дж.

На сотрясение фундамента будет затрачена та кинетическая энергия, которую получит молот вместе с наковальней после удара:

. (6)

Решая совместно уравнения (5–6) относительно Е, получаем

;

Е Дж.

Е = 6,910³ Дж.

Ответ: работа расплющивания железа 1,410⁵ Дж, энергия, потерянная на сотрясение фундамента, 6,910³ Дж.

З а д а ч а 12

Гиря массой m = 10 кг падает с высоты h = 0,5 м на подставку, скрепленную с пружиной жесткостью k = 30 Н/см. Определите деформацию пружины.

Д а н о Р е ш е н и е

m1 = 10 кг h = 0,5 м k = 30 Н/см = 3103 Н/м _____________________ х – ?

Рассмотрим систему тел гиря–пружина. Изобразим на рис. 63 два состояния системы: 1 – гиря находится на высоте h, относительно недеформированной пружины; 2 – гиря находится на подставке, а пружина сжалась.

h

x

1

2

Рис. 63

Внешняя сила (сила тяжести) и внутренняя сила (сила упругости) являются консервативными, поэтому в системе выполняется закон сохранения механической энергии.

Е₁ = Е₂.

За нулевой уровень отсчета потенциальной энергии гири примем уровень, на котором она находится во втором состоянии. Тогда

Е₁ = mg(h + x),

E₂ = ,

mg(h + x) = ,

– mgx – mgh = 0,

x² – x – h = 0.

Деформация пружины

х = + .

Подставим числовые значения и сделаем вычисления.

х = 0,22 м.

Ответ: пружина сожмется на 0,22 м.

З а д а ч а 13

Шар массой m₁ = 0,2 кг, движущийся со скоростью ₁ = 10 м/с, ударяет неподвижный шар массой m₂ = 0,8 кг. Удар прямой, абсолютно упругий. Определить скорости шаров после удара.

Д а н о Р е ш е н и е

X m1 = 0,2 кг m2 = 0,8 кг 1 = 10 м/c 2 = 0 _________________ – ? – ?

Р m1 m2 m1 m2 ассмотрим упругий удар двух шаров. Изобразим на рис. 64 два состояния системы до и после удара.

Рис. 64

Силы взаимодействия между сталкивающимися телами велики, поэтому внешними силами, действующими на них, можно пренебречь. Следовательно, в системе будет выполняться закон сохранения импульса. Так как внутренние силы – это силы упругости, то в системе будет выполняться закон сохранения механической энергии.

,

где и – импульсы системы, а Е₁ и Е₂ – механическая энергия системы до и после удара, соответственно.

Скорости шаров до удара и , после удара – и . Предположим, что после удара первый шар изменит направление своего движения.

По закону сохранения импульса

.

По закону сохранения энергии

.

Так как все скорости направлены по оси 0Х, то , , , то следует

.

Решим полученную систему

.

Разделим почленно второе уравнение на первое и получим:

U_2x = _1x + U_1x,

m₁(_1x – U_1x) = m₂(_1x + U_1x),

U_1x = .

U_1x = = – 6 м/с,

U₁ = 6 м/с.

Проекция вектора U_1x отрицательная, следовательно, вектор скорости направлен в отрицательном направлении оси 0Х, т.е. первый шар поменяет направление движения

U_2x = ₁ – U₂ = 4 м/с.

U₂ = 4 м/с.

Ответ: после удара скорость первого шара 6 м/с, а скорость второго 4 м/с.