Закон сохранения импульса Основные понятия и величины

1. Механическая система – совокупность тел, выделенных для рассмотрения.

2. Внутренние силы – силы, с которыми тела системы взаимодействуют между собой.

3. Внешние силы – силы, с которыми тела системы взаимодействуют с телами, не включенными в систему.

4. Замкнутая система – это система, на которую не действуют внешние силы, т.е. = 0.

5. Импульс тела – это векторная физическая величина, равная произведению массы тела m на его скорость

= m .

6. Импульс системы равен векторной сумме импульсов тел, входящих в систему

= .

7. Закон сохранения импульса.

Импульс замкнутой системы есть величина постоянная

= = const или

,

где индексом обозначены скорости системы тел в один момент времени, а индексом – в другой момент времени. Все скорости берутся относительно одной системы отсчета.

Условия выполнения закона сохранения импульса в незамкнутых системах:

1) сумма внешних сил равна нулю

0, = const;

2) импульс внешней силы мал

<< ft, = const;

3) проекция внешней силы на ось Х равна нулю. В этом случае остается постоянной сумма проекций импульсов на это направление

F_x = 0, p_x = const.

8. Центр масс системы материальных точек – это точка С, положение которой определяется радиусом-вектором

,

где и – масса и радиус-вектор i-той частицы, m – масса системы.

В декартовой системе координат

;

;

.

9. Скорость центра масс

.

10. Импульс системы

.

11. Закон движения центра масс.

Центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, приложенных к системе

или .

Если = 0, то = 0, следовательно, центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остается неподвижным.

Примеры решения задач

З а д а ч а 1

Два шарика с массами 2,0 и 3,0 кг движутся в горизонтальной плоскости со скоростями, равными соответственно 5,0 и 4,0 м/с. Направления движения шариков составляют друг с другом угол 60⁰. Чему равен импульс этой системы?

Д а н о Р е ш е н и е

m У 1 = 2,0 кг m2 = 3,0 кг 1 = 6,0 м/с 2 = 4,0 м/с  = 600 ____________ – ?

Система состоит из двух шариков, которые можно принять за материальные точки. В задаче рассматривается механическое движение шариков относительно некоторой горизонтальной плоскости. Для описания этого движения введем систему отсчета (СО): за тело отсчета примем горизонтальную плоскость; с телом отсчета свяжем две оси координат, лежащие на горизонтальной плоскости – оси 0Х и 0У. На рис. 42 дан вид сверху на горизонтальную плоскость.

m₁

m₂

Х

Рис. 42

Для нахождения суммы импульсов шариков воспользуемся выражениями:

= , (1)

, (2)

где – импульс системы, – импульс i –й материальной точки, входящей в систему, – масса этой материальной точки, – ее скорость движения.

Применим выражения (1) и (2) к нашей задаче:

= . (3)

Модуль вектора определим по формуле . Направление вектора определяется углом  между ним и осью Х.

У

У

читывая, что направление импульса каждого из шариков совпадает с направлением вектора скорости, изобразим импульсы шариков и импульс системы (рис. 43).





0

Х

Рис. 43

Перепишем (3) в проекциях на координатные оси:

(4)

Решим полученную систему (4), содержащую две неизвестных величины – р и :

.

.

= =

= =

.

Подставим числовые значения величин и сделаем вычисления:

tg = ,  = 30⁰,

р = 12 кгм/с.

Ответ: импульс системы равен 20 кгм/с и направлен под углом 30⁰ к оси 0Х.

З а д а ч а 2

Система состоит из четырех шаров, массы которых соответственно m, 2m, 3m и 4m, которые расположены по вершинам квадрата. Сторона квадрата а = = 15 см. Определите положение центра масс системы.

Д а н о Р е ш е н и е

m1 = m m2 = 2m m3 = 3m m4 = 4m a = 15 см ___________________ хС – ? уС – ?

Рассмотрим систему, состоящую из четырех шаров, которые считаем материальными точками. Направление координатных осей показано на рис. 44.

Рис. 44

Положение центра масс С можно определить по формулам:

,

,

где m – масса системы, m_i, x_i, y_i – масса и координаты i-го тела.

Для нашего случая

.

.

Определим координаты шаров и сделаем вычисления:

х₁ = 0, х₂ = а, х₃ = а, х₄ = 0;

у₁ = а, у₂ = а, у₃ = 0, у₄ = 0.

,

.

= 7,5 см,

= 4,5 см.

Покажите точку С на рисунке.

Ответ: координата центра масс системы х_с = 7,5 см, у_с = 4,5 см.

З а д а ч а 3

Снаряд массой 50 кг, летящий вдоль рельсов со скоростью 600 м/с, попадает в платформу с песком массой 10 т и застревает в песке. Вектор скорости снаряда в момент падения образует угол 60⁰ с горизонтом. Определить скорость платформы после попадания снаряда, если платформа движется навстречу снаряду со скоростью 10 м/с.

Д а н о Р е ш е н и е

m1 = 50 кг m2 = 10 т = 10103 кг 1 = 600 м/с 2 = 10 м/с = 600 ___________________ U – ?

Рассмотрим систему тел – снаряд–платформа с песком. Поступательно движущуюся платформу и снаряд, размерами которых можно пренебречь в условии задачи, примем за материальные точки. В задаче рассматривается взаимодействие снаряда и платформы с песком, в результате которого скорости снаряда и платформы меняются. Изобразим состояние системы до и после попадания снаряда в платформу. Направление скорости

платформы после взаимодействия со снарядом пока неизвестно. Предположим, что вектор скорости направлен вдоль оси Х. Выберем систему отсчета: будем рассматривать движение тел системы относительно железнодорожного полотна; для описания этого движения с железнодорожным полотном как телом отсчета свяжем оси координат – оси 0Х и 0У (рис. 45). За начальный момент времени (t = 0) примем момент соприкосновения снаряда с песком, за конечный – момент застревания снаряда в песке.

У

а)

б)



m₁

m₂

m₁

m₂

0

Х

Рис. 45

В течение времени взаимодействия этих тел друг с другом на них действуют также внешние силы: сила тяжести, сила нормальной реакции опоры. Следовательно, система тел незамкнутая. Равнодействующая внешних сил при движении снаряда в песке не равна нулю: сила нормальной реакции опоры резко возрастает в момент взаимодействия по сравнению с силой тяжести. Однако проекция этих сил на направление оси 0Х равна нулю, следовательно, сохраняется проекция полного импульса системы на это направление

, (1)

где – проекция полного импульса системы на ось 0Х до попадания снаряда в песок; – проекция полного импульса системы на ось 0Х после застревания снаряда в песке.

Импульс системы в первом (рис. 45 а) и во втором (рис. 45 б) состояниях

,

,

где – скорость платформы и застрявшего в песке снаряда относительно железнодорожного полотна.

Найдем проекции этих векторов на ось Х

, (2)

, (3)

где – проекция неизвестного вектора скорости платформы на ось 0Х.

Подставим (2) и (3) в (1):

= . (4)

Решим (4) относительно U_Х:

,

Сделаем вычисления.

U_Х = 2,5 м/с.

Проекция вектора скорости на ось 0Х положительна, следовательно, вектор скорости направлен в ту же сторону, что и ось 0Х.

Ответ: скорость платформы 2,5 м/с.

З а д а ч а 4

Ядро массой m, летящее со скоростью , распадается на две части одинаковой массы, причем один из осколков летит со скоростью U₁ под углом  к направлению полета ядра до его распада. Найти скорость и направление полета второго осколка ядра.

Д а н о Р е ш е н и е

m,  m1 = m2 = m/2 U1,  ______________ – ?

Рассмотрим систему, состоящую из двух осколков ядра. Примем ядро и его осколки за материальные точки. В задаче рассматривается взаимодействие двух частей ядра, в результате которого скорости частей изменяются и ядро распадается на два осколка. Изобразим рассматриваемые в задаче состояния системы (рис. 46).

Выберем систему отсчета, связав оси координат 0Х и 0У с некоторым телом отсчета на поверхности Земли, относительно которого движется ядро. За начальный момент времени наблюдения примем момент начала распада ядра на два осколка (начало взаимодействия осколков), за конечный – момент времени непосредственно после распада ядра.

При распаде ядра на осколки действуют силы: внутренняя – сила взаимодействия осколков и внешняя – сила тяжести осколков. Следовательно, рассматриваемая система незамкнутая. Однако следует учесть, что за малое время взаимодействия осколков импульс силы тяжести не может существенно изменить импульс системы.

У

У

m₁

m

0

0

Х

Х

– ?

m₂

Ядро

Осколки

а) б)

Рис. 46

, (1)

где – полный импульс системы до распада ядра, – полный импульс системы после распада ядра.

= ,

= .

Следовательно,

= . (2)

Определим направление движения второго осколка. Из (2) следует, что

= – .

На рис. 47, б дано графическое решение задачи.

У

У

m₁

=



0

0



Х

Х

=

m₂

а) б)

Рис. 47

Для нахождения модуля вектора U₂ и его направления (угла ) перепишем (2) в проекциях на оси 0Х и 0У:

(3)

Решим систему уравнений (3). Учтем, что m₁ = m₂ = m/2.

(4)

Преобразуем систему (4), перенеся члены, содержащие U₁ в левую часть равенства и, разделив обе части выражения на m,:

(5)

Система уравнений (5) содержит две неизвестные величины: U₂ и .

Возведем обе части (5) в квадрат и сложим правую часть с правой, а левую – с левой:

(6)

После преобразования первого уравнения системы (5) найдем

. (7)

Подставим выражение (7) в (6)

. (8)

Из (8) найдем U₂:

, (9)

из второго уравнения системы (5)

. (10)

Подставим в (10) значение U₂ из (9):

. (11)

Из (11) определим :

.

Предлагаем Вам решить эту задачу другим способом, рассмотрев треугольник импульсов.

Ответ: скорость второго осколка и направлена под углом к оси 0Х.

З а д а ч а 5

С лодки массой 150 кг, движущейся со скоростью 3,0 м/с, в сторону, противоположную ее движению, прыгает в воду мальчик с горизонтальной скоростью 5,0 м/с относительно лодки. Масса мальчика 50 кг. Какой станет скорость лодки после прыжка мальчика?

Д а н о Р е ш е н и е

m1 = 150 кг m2 = 50 кг  = 3,0 м/с U0 = 5,0 м/с ____________ U1 – ?

Рассмотрим систему взаимодействующих тел – мальчик–лодка. Система незамкнута. На тела, входящие в систему, действуют внешние силы тяжести ( , ) и упругой реакции воды (выталкивающая сила). До и после прыжка результирующая этих сил равна нулю, а во время прыжка Q становится больше . Поэтому во время прыжка импульс выбранной системы изменяется.

Свяжем с Землей ось 0Х (рис. 48).

Х

Рис. 48

Проекция внешних сил на ось Х равна нулю. Следовательно, можно применять закон сохранения проекции импульса на эту ось:

, (1)

Полный импульс системы до прыжка

,

а его проекция на ось 0Х

. (2)

Полный импульс системы после прыжка

, (3)

где – скорость мальчика после прыжка относительно Земли, – скорость лодки относительно Земли.

Полный импульс после прыжка неизвестен, так как неизвестна вертикальная составляющая скорости мальчика после прыжка, а известна только горизонтальная составляющая скорости. Горизонтальная составляющая скорости мальчика после прыжка относительно Земли

. (4)

Проекция импульса на ось 0Х

,

или, учтя (4),

,

следовательно,

. (5)

Выразим U₁ из (5)

.

Подставим числовые данные и получим:

U₁ = 4,2 м/с.

Ответ: скорость лодки после прыжка мальчика станет 4,2 м/с.

З а д а ч а 6

Лодка длиной 3,0 м стоит в неподвижной воде. При переходе человека массой m₂ с носа на корму лодка сдвинулась на 0,75 м. Определить массу человека, если масса лодки 180 кг. Сопротивлением воды движению лодки пренебречь.

Д а н о Р е ш е н и е

L = 3,0 м S = 0,75 м m1 = 180 кг _____________ m2 – ?

Рассмотрим систему взаимодействующих тел – человек–лодка. На систему действуют внешние силы: сила тяжести и упругой реакции воды (выталкивающая сила). Силой трения лодки о воду пренебрегаем (рис. 49). Когда человек начнет двигаться вдоль лодки,

она, вследствие отдачи, также придет в движение. Скорость человека относительно воды , скорость лодки относительно воды .

m₂

m₁

L

S

0

Х

Рис. 49

Так как проекция результирующей силы на ось Х равна нулю, то

, (1)

где – проекция полного импульса системы на ось 0Х до начала движения; – проекция полного импульса системы на ось 0Х во время движения.

Импульс системы до начала движения равен нулю

= 0.

Импульс системы тел во время движения

,

а его проекция на ось 0Х

.

Учитывая (1), имеем

= 0. (2)

Из (2) определим массу человека

. (3)

Итак, нам надо определить проекции скоростей и .

Будем считать, что человек и лодка перемещаются равномерно. Тогда проекция скорости лодки относительно воды

, (4)

где t – время движения.

Скорость человека относительно воды , где – скорость человека относительно лодки.

Следовательно, проекция вектора скорости на ось Х равна

.

Определим . Человек прошел вдоль лодки расстояние, равное длине лодки L в направлении оси Х, поэтому

.

Итак, . (5)

Подставим (4) и (5) в (3) и получим выражение для массы человека

.

Подставим числовые данные и сделаем вычисления:

m₂ = 60 кг.

Второй способ решения задачи.

Система взаимодействующих тел состоит из человека и лодки. Выберем систему отсчета. За тело отсчета примем Землю, с которой связываем систему координат ХОУ. Направление координатных осей показано на рис. 50. За начало отсчета времени примем начало движения человека. Система тел незамкнутая. Внешние силы: тяжести и реакция воды . На рис. 50 показано два состояния системы: до начала движения и к моменту окончания движения.

Для решения задачи воспользуемся законом движения центра масс системы

.

В нашем случае результирующая внешних сил

.

Следовательно, а_с = 0. Значит скорость центра масс . Так как до начала движения человека система покоилась, то _c = 0, поэтому положение центра масс системы лодка – человек не должно изменится.

Д

У

о начала движения

m₂

m₁

С

Х

х₁ х_С х₂

0

У

К моменту окончания движения

m₂

m₁

S

С

0

Х

х₂ х₁

Рис. 50

Центр масс С задается радиус-вектором

,

где – радиус-вектор центра масс i-го тела.

Тела системы перемещаются вдоль оси ОХ. Координата центра масс системы до начала движения

.

Здесь х₁ и х₂ – координаты центра масс лодки и человека до начала движения.

Координата центра масс системы в момент окончания движения

.

Здесь х₁ и х₂ – координаты центра масс лодки и человека в момент окончания движения.

Из рис. 50 видно, что

, х₂ = L,

, х₂ = S.

Так как положение центра масс системы не изменяется, то х_с = х_с

.

Следовательно,

.

Выразим m₂ из последнего выражения:

m₂ = .

Ответ: масса человека 60 кг.