Примеры решения задач

З а д а ч а 1

Шарик массой 50 г, двигавшийся горизонтально со скоростью 5,0 м/с, ударяется упруго о вертикальную стальную плиту. Определите среднюю силу, действующую на шарик при ударе, если удар длился 2,010^–2 с.

Д а н о Р е ш е н и е

0 Х 0 Х m = 5,010–2 кг 1 = 10 м/с 2 = 10 м/с t = 2,010–2 с ______________ – ?

Система состоит из шарика и плиты. Движение шарика рассматриваем в системе отсчета, связанной с Землей. Направление координат оси 0Х при двух состояниях сист емы: до удара и после удара – показано на рис. 25.

До удара После удара

Рис. 25

Шарик ударяется о плиту упруго, следовательно, вектор скорости равен по модулю вектору и противоположно ему направлен. Причина изменения скорости шарика – действующая на него сила реакции плиты .

Для решения задачи применим второй закон Ньютона:

.

В

0

Х

се условия для применения закона выполняются: движение рассматриваем в инерциальной системе отсчета, скорость тела значительно меньше скорости света.

Ч

тобы определить , надо найти изменение импульса тела . На рис. 26 показано графическое решение задачи. Для того, чтобы найти разность двух векторов, надо совместить начало векторов, а затем, соединить их концы и полученный отрезок направить в сторону того вектора, из которого вычитают.

О

Рис. 26

пределим модуль силы. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на ось 0Х, учитывая, что ₁ = ₂ = :

,

.

Произведем вычисления:

F_ср = 50 Н.

Ответ: средняя сила, действующая на шарик при ударе, равна 50 Н.

З а д а ч а 2

Материальная точка массой m = 1 кг, двигаясь равномерно, описывает четверть окружности R = 1,2 м в течение времени t = 2 с. Найти изменение импульса точки.

Д а н о Р е ш е н и е

m = 1 кг R = 1,2 м t = 2,0 с __________  – ?

В задаче рассматривается равномерное движение материальной точки по окружности (рис. 27). Рассмотрим два состояния тела (1 и 2). Вектор скорости материальной точки не меняется по величине (согласно условию задачи), но изменяет свое направление, т.е. не будет оставаться постоянным. Изменение импульса точки определяется уравнением

.

Найдем графически вектор (рис. 28). Учитывая, что и , получаем .

У

Х

В

С

1

2



А

Рис. 27 Рис. 28

Рассмотрим треугольник импульсов АВС. По теореме Пифагора:

,

учитывая, что р₁ = р₂ = m, получим

.

Определим модуль скорости точки. Так как движение равномерное

,

где S – путь, t – время.

За время t точка прошла

.

Следовательно,

;

Сделаем вычисления

р = = 1,33 кгмс^–1.

Ответ: изменение импульса точки равно 1,33 кгмс^–1.

З а д а ч а 3

Тело массой 10 г летит горизонтально со скоростью 5 м/с. Под действием постоянной силы направление вектора скорости изменилось на 60⁰, а ее модуль остался прежним. Определите величину и направление импульса силы.

Д а н о Р е ш е н и е

m = 10 г = 10–2 кг 0 = 5 м/c 1 = 5 м/с  = 600 ________________ Ft – ?  – ?

Система состоит из одного тела, которое будем считать материальной точкой. Выберем следующую систему отсчета: за тело отсчета примем Землю, начало системы координат Х0У поместим точку, в которой находилось тело в момент, когда на него начала действовать сила (рис. 29). В момент окончания действия силы скорость тела , вектор скорости остается постоянным по мо-

Х

Х

У

У

m

m

0

0

Рис. 29

дулю и меняется по направлению (рис. 29), следовательно, тело совершает криволинейное движение. Установить, какие конкретно силы действуют на тело, мы не можем, а поэтому нельзя определить импульс силы по формуле t.

Для решения задачи надо применить II закон Ньютона. Все условия для выполнения закона выполняются (движение рассматриваем в инерциальной системе отсчета, скорость тела много меньше скорости света).

Так как действует постоянная сила, то

,

где , а .

Следовательно, чтобы определить импульс силы, надо найти изменение импульса тела .

Изменение импульса тела определим по правилу вычитания векторов (рис. 30). Нам надо найти модуль р и угол . В данном случае это можно сделать несколькими способами.

Сначала покажем общий метод решения.

Перейдем от векторной формы второго закона Ньютона к его проекциям на координатные оси:

Х

У

(1)

В





озведем каждое уравнение системы в квадрат и сложим их почленно:



0

Рис. 30

,

.

Учтем, что р₁ = р₀, тогда получим:

,

.

Из последнего уравнения системы (1) найдем

.

Произведем вычисления:

Ft = 5,010^–2 Нс,

sin .

Следовательно, угол  может иметь два значения: ₁ = 60⁰ и ₂ = 120⁰. Из рис. 30 видно, что проекция импульса силы на ось Х отрицательная, следовательно, cos < 0, а значит,  = 120⁰.

Второй способ решения.

Рассмотрим треугольник импульсов ОВС (рис. 30). Этот треугольник – равнобедренный. Поэтому

 = ,

а  = 180⁰ –  = 120⁰.

Кроме того, этот треугольник равносторонний, поэтому модуль импульса силы

= 5,010^–2 Нс.

Ответ: импульс силы, действующей на тело, равен 5,010^–2 Нс и направлен под углом 120⁰ к горизонту.

З а д а ч а 4

Тело массой 200 кг равномерно поднимается по наклонной плоскости, образующей угол 30⁰ с горизонтом, под действием силы 1500 Н, приложенной вдоль линии движения. С каким ускорением тело будет соскальзывать вдоль наклонной плоскости, если его отпустить?

Д а н о Р е ш е н и е

m = 200 кг  = const  = 300 F = 1500 Н а = 0 ____________ а1 – ?

Тело в условии задачи можно принять за материальную точку, движущуюся сначала равномерно вдоль оси Х (рис. 31 а), а потом равноускоренно вдоль оси Х1 (рис. 31 б). На материальную точку при ее движении вверх по плоскости действуют силы: тяжести , нормальной реакции опоры , тяги и трения .

Х

Х₁

У₁

У





а) б)

Рис. 31

При движении вниз по наклонной плоскости на тело действуют силы тяжести , нормальной реакции опоры и трения . Движение вверх по наклонной плоскости равномерное, т.е. = 0; движение вниз – равноускоренное с ускорением .

Применим II закон Ньютона для движения тела вверх по наклонной плоскости:

0 = + + + , (1)

и для движения вниз по этой же наклонной плоскости:

m = + + . (2)

Переписываем уравнения (1) и (2) в проекциях на оси Х и Х₁, У и У₁ соответственно:

(3)

. (4)

Из системы (4) видно, что N = N₁, следовательно,

= , так как = N.

Вычтем из второго уравнения системы (3) первое и получим, что

ma₁ = 2mgsin – F,

следовательно,

.

Подставим числовые значения величин и сделаем вычисления:

а₁ = 2,5 м/с².

Ответ: тело соскальзывает вниз с ускорением 2,5 м/с².

З а д а ч а 5

По горизонтальной плоскости движется тело массой 5,0 кг под действием силы 30 Н, приложенной к телу под углом 30⁰ к горизонту. Коэффициент трения скольжения равен 0,2. Вычислить скорость тела через 10 с после начала действия силы.

Д а н о Р е ш е н и е

m = 0,5 кг  = 300 F = 30 Н  = 0,2 t1 = 10 c 0 = 0 ____________ 1 – ?

Тело в условии задачи можно рассматривать как материальную точку. На тело при движении действуют силы: тяжести , нормальной реакции опоры , тяги и трения (рис. 32). Так как на тело действуют постоянные силы, то тело будет двигаться с постоянным ускорением . Следовательно, модуль скорости тела можно определить по формуле

 = ₀ + at, ₀ = 0,  = at.

Определим ускорение тела. Свяжем с телом отсчета систему координат: ось Х направлена вдоль плоскости, по которой движется тело, ось У – перпендикулярно плоскости. Ускорение тела направлено вдоль оси Х (рис. 32).

Запишем уравнение движения тела:

m = + + + .

Перепишем полученное уравнение в проекциях на оси Х и У:

(1)

У



0

Х

Рис. 32

Сила трения скольжения определяется по формуле:

F_тр = N. (2)

Из последнего уравнения системы (1) получим, что

N = mg – F sin. (3)

Используя (2) и (3), из первого уравнения системы (1) получим

.

Определим скорость тела в момент времени t₁:

.

Подставим числовые данные и рассчитаем ₁:

₁ = 38 м/с.

Ответ: через 10 с после начала действия силы у тела будет скорость 38 м/с.

З а д а ч а 6

К пружинным весам подвешен блок. Через блок перекинута нить, к концам которой привязали грузы массой: m₁ = 1,5 кг и m₂ = 3 кг. Определить ускорение грузов, вес каждого груза. Каково будет показание весов во время движения грузов? Массой блока и нити пренебречь, нить считать нерастяжимой.

Д а н о Р е ш е н и е

m1 = 1,5 кг m2 = 3 кг _____________ F – ?

Систему отсчета свяжем с телом, на котором укреплен блок. Грузы в условиях задачи примем за материальные точки. Оси Х1 и Х2 направим соответственно вдоль ускорений первого и второго грузов (рис. 33). К первому грузу приложена сила тяжести и сила

упругой реакции нити , ко второму грузу – сила тяжести и сила упругой реакции нити . Запишем для каждого груза второй закон Ньютона:

= + . (1)

₂ = + . (2)

Спроецируем уравнения системы на соответствующие оси Х₁ и Х₂. Учтем, что массой блока и нити можно пренебречь, то силы, с которыми нить действует на грузы, равны между собой:

Т₁ = Т₂ = Т,

а так как нить нерастяжимая, то а₁ = а₂ = а.

Х ₁: m₁a = T – m₁g,

X₂: m₂a = m₂g – T.

Решим систему уравнений относительно а. Для этого сложим их почленно.

(m₁ + m₂) a = (m₁ – m₂) g,

a = .

Сделаем вычисления

a = 1/3g  3,3 м/с².

По третьему закону Ньютона вес первого груза и вес второго груза соответственно равны (рис. 34):

= – , Р₁ = Т₁;

= – , Р₂ = Т₂.

Следовательно, вес каждого груза

Р₁ = Р₂ = Т,

Т = m₁(g – a) = m₂ (a – g).

Х₂

Х₁

₂

Рис. 33 Рис. 34

Сделаем вычисления

Р₁ = Р₂ = Т = 20 Н.

Определим показание пружинных весов. По третьему закону Ньютона , Р = F_упр.

Для определения F_упр рассмотрим равновесие блока, к которому приложены три силы: , и сила упругости пружины . Блок растянул пружину и пришел в равновесное состояние. Условие равновесия блока:

+ + = 0.

Спроецировав это уравнение на ось Х₂, получим

F_упр = Р = Р₁ + Р₂.

Р = 40 Н.

Ответ: ускорение грузов 3,3 м/с², вес первого груза равен весу второго груза и равен 20 Н, показания пружинных весов 40 Н.

З а д а ч а 7

На вершине наклонной плоскости расположен невесомый блок. Через блок перекинута нить, к концам которой прикреплены грузы массами m₁ = 1,0 кг и m₂ = 0,8 кг, коэффициент трения между грузом m₁ и наклонной плоскостью  = = 0,2. Угол наклона плоскости к горизонту  = 45⁰. Определите ускорение грузов.

Д а н о Р е ш е н и е

а – ? m 1 = 1,0 кг m2 = 0,8 кг  = 0,2  = 450 g = 10 м/с2 __________________

В систему взаимодействующих тел включим: грузы m1, m2 и связывающую их нить. Грузы будем считать материальными точками, нить невесомой и нерастяжимой, трение в блоке не учитываем. Рассмотрим выделенную систему тел в системе от счета, связанной с Землей. Покажем силы, действующие на тела (рис. 35).

Груз 1 взаимодействует с Землей, нитью и наклонной плоскостью. На него действуют силы: тяжести , реакции нити и сила трения .

Груз 2 взаимодействует с Землей и нитью. На него действуют силы: тяжести и реакции нити .

М

Х₂

ы не можем показать направление силы трения, так как неизвестно направление движения. Предположим, что тело m₁ будет скатываться с наклонной плоскости с ускорением . Направление координатных осей показано на рис. 35.

Н

Х₁

Рис. 35

аправление возможного движения определим по знаку проекции ускорения , формулу для которого получим, предположив, что = 0.

Такое же направление движения будет и при наличии силы трения, так как она не может изменить направление движения.

Второй закон Ньютона будем применять в виде:

m ⁰ = ,

где – результирующая всех сил, действующих на тело. Условия применимости закона выполнены: мы рассматриваем движение тел в инерциальной системе отсчета; скорости тел много меньше скорости света.

Уравнения движения грузов 1 и 2 при отсутствии трения имеют вид

(1)

Из невесомости нити вытекает, что Т₁ = Т₂ = Т, а из нерастяжимости нити – = = = .

Запишем систему (1) в проекциях на координатные оси Х₁ и Х₂ соответственно и определим знак :

,

m₁sin – m₂ = (10,7 – 0,8) < 0.

Следовательно, < 0, т.е. грузы могут двигаться только в отрицательном направлении выбранных осей Х₁ и Х₂: груз 1 – вверх по наклонной плоскости, груз 2 – вертикально вниз. Проекции ускорений тел на направление этих осей должны быть отрицательными и при наличии сил трения.

Решим задачу с учетом силы трения (рис. 36):

Рис. 36

Х₂

У

Х₁

(2)

Запишем уравнения системы (2) в проекциях на координатные оси (учтем, что а_1Х = а_2Х = а_Х; Т₁ = Т₂ = Т):

Х (3)

У

Определим ускорение грузов. Сложив почленно первые два уравнения системы (3), получим

.

Сила трения скольжения

F_тр = N. (4)

Из последнего уравнения системы (3) найдем

N₁ = m₁gcos.

Окончательно имеем

.

Сделаем вычисления:

а_х м/с².

Проанализируем полученный результат. Мы получили а_Х > 0. Это означает, что под действием силы трения система изменила направление движения. Выход из противоречия заключается в следующем: система будет находиться в покое и а_Х = 0. В данном случае на тело действует сила трения покоя, которую нельзя определять по формуле (4).

Коэффициент трения ₀, при котором еще возможно движение, можно определить из условия равновесия тел, положив а_х = 0. Тогда для определения этого значения коэффициента трения ₀ получим уравнение

m₁sin + ₀m₁cos – m₂ = 0.

Следовательно,

₀ = = 0,14.

Если  < ₀, система тел будет двигаться с ускорением вверх по наклонной плоскости, если   ₀, система находится в равновесии.

Ответ: ускорение грузов равно 0.

З а д а ч а 8

Двигатель тормозной системы развивает силу тяги , где k = const. Определить тормозной путь S тела массой m, на котором установлен такой двигатель. В момент включения двигателя скорость тела _0Х = ₀, начальная координата х₀ = 0.

Д а н о Р е ш е н и е

0 (0) = 0 (t1) = 1 = 0  = 450 x (0) = x0 = 0 ______________ S – ?

Система состоит из тела массой m и двигателя. Будем считать, что масса топлива намного меньше массы тела. Тело примем за материальную точку. Систему отсчета свяжем с Землей, начало оси 0Х поместим в точку, в которой находилось тело в момент включения двигателя, ось 0Х направим как показано на рис. 37.

Х

Рис. 37

На тело действуют три силы: тяжести , упругая сила реакции опоры и сила тяги . Чтобы определить тормозной путь, надо знать закон движения тела.

Закон движения тела можно получить с помощью второго закона Ньютона. Условия его применимости выполнены. Будем применять закон в виде . В проекциях на ось Х:

.

Определим проекцию скорости тела:

, ,

,

.

Найдем с₁, учитывая, что _0x = ₀ при t = 0:

с₁ = _0x = ₀,

следовательно

.

Получим закон движения:

, dx = _xdt,

,

.

Определим с₂, учитывая, что х = 0 при t = 0; получим с₂ = 0.

Следовательно

.

Определим тормозной путь S. Для этого надо найти момент времени t₁, в который тело остановится. В момент остановки скорость тела

_1x = 0  = 0.

Тогда

.

Следовательно,

.

Ответ: тормозной путь S тела равен .

З а д а ч а 9

На какой высоте должен вращаться искусственный спутник Земли, чтобы он все время находился над одной и той же точкой Земли? Считать, что Земля имеет форму шара.

Д а н о Р е ш е н и е

сп = З ___________ h – ?

Спутник будем считать материальной точкой. Поскольку он все время находится над одной и той же точкой Земли, то орбита его должна лежать в экваториальной плоскости Земли,

а угловая скорость вращения спутника по орбите должна быть равна угловой скорости вращения Земли _З вокруг своей оси.

Будем считать, что на спутник действует только сила земного притяжения . Она направлена к центру Земли (рис. 38), и под ее действием спутник движется (в простейшем случае) по окружности. Сила тяготения создает спутнику центростремительное (нормальное) ускорение . Нормальное ускорение спутника можно определить по формуле

= , (1)

R

m

M

h

Х

Рис. 38

где r – расстояние спутника от центра Земли, r = R + h (см. рис. 38),  – скорость спутника, R – радиус Земли, h – расстояние от спутника до поверхности Земли. Следовательно, чтобы определить высоту h, надо определить r.

Уравнение движения спутника имеет вид

. (2)

Перепишем уравнение (2) в проекции на ось Х:

ma_n = F. (3)

Сила тяготения

, (4)

где G – гравитационная постоянная, m – масса спутника, М – масса Земли.

Подставляя (1) и (4) в (3), получаем

. (5)

Скорость  неизвестна, но ее можно выразить через угловую скорость вращения Земли  = _Зr, тогда выражение (5) примет вид

. (6)

Отсюда находим

.

Угловую скорость _З выражаем через период обращения Земли

.

Тогда окончательно получим для r

,

а для высоты h имеем

. (7)

Проводить расчет по формуле (7) достаточно сложно, поэтому, чтобы упростить вычисления, разделим все члены в (7) на R и введем – ускорение свободного падения на поверхности Земли. Тогда (вводя обозначение х = h/R) получим для х выражение

. (8)

Подставляя в (8) Т = 24 ч (выразив в с), g = 10 м/с², R = 5,410⁶ м, получаем, что х = 5,6, т.е. h = 3,610⁷ м.

Ответ: спутник должен находиться на высоте 3,610⁷ м над поверхностью Земли в экваториальной плоскости.

З а д а ч а 10

Ракета массой m = 1 т (рис. 39), запущенная вертикально вверх, поднимается с ускорением а = 2g. Скорость U струи газов относительно ракеты, вырывающихся из сопла, 1200 м/с. Найти расход горючего .

Д а н о Р е ш е н и е

m = 103 кг а = 2g U = 1200м/с ____________  – ?

В задаче рассматривается движение тела с ежесекундно уменьшающейся массой в поле тяготения Земли. Ракету в условии задачи можно рассматривать как материальную точку. Движение тела с переменной массой описывается уравнением Мещерского:

. (1)

где – скорость отделяющейся массы относительно тела; – векторная сумма внешних сил, действующих на тело. Введем обозначения

; = .

Уравнение (1) примет вид

.

В проекции на ось Х (рис. 39)

;

;

 ;

 = – 24,5 кг/с.

Знак «минус» показывает, что масса тела убывает ( < 0), т.е. частицы покидают тело.

Ответ: расход горючего  равен 24,5 кг/с.