Примеры решения задач

З а д а ч а 1

Радиус-вектор частицы изменяется со временем по закону

, м.

1. Запишите зависимость координат частицы от времени.

2. Запишите уравнение траектории частицы.

3. Определите и .

4. Определите , и .

5. Вычислите для момента времени t₁ = 0,50 с координаты частицы, модули векторов скорости и ускорений, полного, тангенциального и нормального.

Д а н о: Р е ш е н и е

t1 = 0,5 с ____________________________ 1. х(t), y(t), z(t), x= f(y, z) – ? 2. , , 1 – ? 3. , а, , , а1, , – ?

Система состоит из одной частицы, которую будем считать материальной точкой. Движение частицы задано в декартовой системе координат. Мы решаем прямую задачу кинематики. Радиус-вектор частицы в декартовой системе координат в общем виде

.

Из сравнения последнего выражения с заданным по условию задачи видно, что зависимость координат частицы от времени имеет вид

Следовательно, частица движется в плоскости z = 1,0 м, параллельной плоскости ХОУ.

Получим уравнение траектории частицы в явном виде

.

Итак, траектория движения частицы – парабола.

Изобразим траекторию движения частицы в проекции на плоскость ХОУ (рис. 7) и определим координаты частицы в момент времени t₁ = 0,5 с.

х₁ = 3,0 = 0,75 м;

у₁ = 2,0t₁ = 1,0 м;

z₁ = 1 м.

Перейдем к решению второй части задачи – определим , , ₁.

Вектор скорости

= ,

где _x, _y, _z – проекции вектора скорости на соответствующие оси координат. Модуль скорости

.

Для нашего случая

.

Вектор скорости направлен по касательной к траектории (рис. 7).

Следовательно, _x = 6,0t м/с; _y = 2,0 м/с; _z = 0.

 .

Вычислим скорость в момент времени t₁ = 0,5 c:

₁ м/с.

Перейдем к решению третьей части задачи – определим , а, и .

Полное ускорение при криволинейном движении можно представить двумя способами:

или

,

где а_х, а_у, а_z – проекции вектора полного ускорения на соответствующие оси; – нормальное ускорение; – тангенциальное ускорение, причем  .

Модуль полного ускорения

= .

Модули тангенциального и нормального ускорений:

, .

Воспользоваться последней формулой мы не можем, так как не известен радиус кривизны траектории. Следовательно,

.

Для нашего случая

.

Значит, а_х = 6,0 м/с²; а_у = 0; а_z = 0; а = ;

= = = .

Вычислим модули ускорений в момент времени t₁ = 0,5 c:

а₁ = 6 м/с²;

= 5,0 м/с²;

= 3,3 м/с².

Покажем на рис. 8 для момента времени t₁ векторы ускорений. Вектор скорости направлен по касательной к траектории. Вектор полного ускорения направлен вдоль оси X, так как = 6 . Вектор сонаправлен с вектором скорости , так как > 0;  .

X

Y

0

Рис. 8

Рис. 7

X

Y

0

1

З а д а ч а 2

Камень брошен вертикально вверх с начальной скоростью 20 м/с. Через сколько секунд камень будет находиться на высоте 15 м? Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения принять равным 10 м/с².

Д а н о Р е ш е н и е

0 = 20 м/с h = 15 м а = 10 м/с2 ____________ t1 – ?

Принимаем камень за материальную точку, движущуюся равнопеременно с ускорением , равным ускорению свободного падения . Начало отсчета выберем в начальном положении камня. Ось ОУ направим вертикально вверх. Положение камня к моменту времени t1 определяется радиусом-вектором . Вектора начальной скорости и ускорения показаны на рис. 9.

Запишем закон движения камня в векторном виде:

= .

В проекциях на ось ОУ

.

В момент времени t₁

= .

Подставим данные задачи:

15 = 20t₁ – 5 , 5 – 20t₁ + 15 = 0.

Y

Р

t₁

у₁

ешая уравнение относительно t₁, получаем два значения времени: t₁ = 1 с и t₁ = 3 с. Значит, заданную точку тело будет проходить дважды: при движении вверх и вниз.

О

твет: тело будет на высоте 15 м в моменты времени 1 и 3 с.

Рис. 9

З а д а ч а 3

Самолет, летевший на высоте 2,010³ м со скоростью 3,610² км/ч, сбросил бомбу. За какое время до прохождения над целью и на каком расстоянии от нее самолет должен сбросить бомбу?

Д а н о Р е ш е н и е

0 = 1,0102 м/с h = 2,0103 м g = 10 м/с2 _______________ t1 – ?, х1 – ?

Принимаем бомбу за материальную точку. За тело отсчета примем Землю, направление координатных осей показано на рис. 10. Начало координат – точка, из которой брошена бомба. За начало отсчета времени примем момент, в который выброшена бомба. Бомба совершает равноускоренное криволинейное движение с ускорением свободного падения .

Закон движения бомбы

.

В проекциях на координатные оси:

,

. (1)

Определим проекции всех векторов, входящих в систему уравнений (1):

0

Х

х₁

Рис. 10

= х0 = 0,	= 0;
,	= 0;
= 0,	.

У

Зависимость координат тела от времени имеет вид:

. (2)

В момент t₁, когда бомба попадает в цель,

(3)

Решая систему уравнений (3), получаем:

; .

Вычислим:

t₁ = 2,010 с,

x₁ = 1,010²2,010 = 2,010³ м.

Ответ: самолет должен сбросить бомбу за 20 с и на расстоянии 210³ м до прохождения над целью.

З а д а ч а 4

Тело бросили с поверхности Земли под углом ₀ к горизонту с начальной скоростью . Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти уравнение траектории.

Д а н о Р е ш е н и е

, 0, ______________ y = f(х) – ?

Считаем, что тело – материальная точка. Выберем систему отсчета: за тело отсчета примем Землю; начало системы координат ХОУ совместим с точкой, из которой брошено тело, ось ОХ направим горизонтально, ось ОУ – вертикально вверх, за начало отсчета времени

примем начало движения тела (рис. 11).

Тело совершает равнопеременное криволинейное движение с ускорением свободного падения , так как движение происходит под действием силы тяжести.

Запишем закон движения пули:

.

Спроектируем на координатные оси:

,

. (1)

Определим проекции всех векторов, входящих в систему уравнений (рис. 11):

= 0, ,

= 0, = ,

а_х = 0, а_у = – g.

Следовательно, зависимость координат тела от времени имеет вид:

Получим уравнение траектории тела в явном виде:

, ,

.

Т

У

раектория движения пули – парабола. Изобразим ее (рис. 12).

У

_0Y

₀

0

0

_0X

Х

Х

Рис. 11 Рис. 12

З а д а ч а 5

Пуля выпущена с начальной скоростью ₀ = 2,010² м/с под углом 30⁰ к плоскости горизонта. Определить скорость и радиус кривизны траектории пули через 5,0 с после начала движения.

Д а н о Р е ш е н и е

У 0 С В А 0 = 2,0102 м/с 0 = 300 а = g = 10 м/с2 t1 = 5,0 c _______________ 1 – ?, R – ?

Траектория движения пули – парабола (задача №4). Можно выделить три возможных положения пули: на подъеме (точка А), в верхней точке траектории (точка В), на спуске (точка С) (рис. 13).

Х

Рис. 13

Определить действительное местонахождение пули в момент времени t₁ можно несколькими способами. Предложим некоторые из них.

Первый способ. Вычислите проекцию . Если > 0, то пуля находится на подъеме в точке А. Если = 0, то пуля находится в верхней точке В траектории. Если < 0, то пуля находится на спуске в точке С.

Второй способ. Определите время подъема до верхней точки траектории t_n и сравните его с временем t₁. В верхней точке траектории = 0.

Третий способ. Определите знак проекции . Если > 0, то движение ускоренное, тело находится на спуске. Если = 0, то тело находится в верхней точке траектории. Если < 0, то движение замедленное, тело находится на подъеме.

Воспользуемся первым способом:

= 2,010² sin30⁰ – 105,0 > 0.

Следовательно, пуля находится на подъеме в точке А.

Первый способ решения задачи.

Радиус кривизны траектории R пули находим из формулы

.

Здесь а_n – нормальное ускорение,  – модуль скорости.

Модуль вектора скорости можно определить, зная проекции и на координатные оси:

.

Вектор мгновенной скорости пули

.

Проекции вектора скорости:

Определим проекции векторов и :

, g_х = 0,

= , g_у = – g.

Следовательно,

,

= – gt,

= .

Найдем нормальное ускорение.

Разложим полное ускорение пули на две составляющие: нормальное ускорение и тангенциальное (рис. 14). Так как  , то .

У

Х

0

А

Рис. 14

Следовательно,

.

Модуль тангенциального ускорения

,

.

Тогда

= .

Следовательно,

.

Проверим единицы измерений:

R .

Вычислим:

₁ = 1,810² м/с.

R 3,310³ м.

Второй способ решения задачи.

Из подобия треугольников скоростей и ускорений (рис. 15):

.

.

У

Х

Рис. 15





0

Модуль  и проекции скорости _x и _y определяют также как и в первом способе.

Ответ: скорость пути 1,810⁸ м/с, радиус кривизны 3,310³ м.

З а д а ч а 6

Ускорение материальной точки изменяется по закону

(м/с²).

Определить закон движения точки и ее расстояние от начала координат в момент времени t₁ = 1 с, если 0 и = 0 при t = 0.

Д а н о Р е ш е н и е

, м/с2 0 0 t1 = 1 c _____________________ – ?, r1 – ?

Рассматриваем движение материальной точки. Из условия задачи видно, что материальная точка движется в плоскости ХОУ. Перед нами обратная задача кинематики: дана одна из характеристик движения (в данном случае ускорение ). Надо определить закон движения. , м.

По определению

,

.

Следовательно, для того чтобы определить закон движения, нужно сначала найти зависимости проекций вектора скорости, а затем координат точки от времени.

Определим проекции вектора ускорения:

= 12t²,м/с;

= – 2, м/с.

Разделяя переменные и интегрируя, получаем проекцию вектора скорости :

d_x = 12t² dt, ,

= 4t³ + c₁.

Найдем с₁, учитывая начальные условия = 0 при t₀ = 0:

0 = 40 + с₁  с₁ = 0, = 4t³.

Определим координату х точки:

= 4t³, dx = 4t³ dt, ,

x = t⁴ + c₂.

Найдем с₂, учитывая начальные условия х₀ = 0 при t₀ = 0:

0 = 0 + с₂  с₂ = 0,

х = t⁴.

Попробуйте самостоятельно вычислить и у, а затем проверьте себя.

d = – 2dt, ,

= – 2t + c₃.

Учитывая начальные условия = 0 при t₀ = 0, определим с₃:

0 = – 20 + с₃  с₃ = 0, = – 2t,

= – 2t, dy = – 2t dt, ,

y = – t² + c₄.

Учитывая начальные условия у = 0 при t₀ = 0, определим с₄:

0 = 0 + с₄  с₄ = 0, следовательно,

у = – t².

Тогда

= , м.

Так как мы нашли закон движения, то теперь можем определить любую характеристику движения.

Найдем искомое расстояние материальной точки от начала координат (рис. 16).

= .

Вычислим

r₁ = = = 1,4 м.

X

Y

0

Рис. 16

Ответ: закон движения точки , м, ее расстояние от начала координат в момент времени 1 с равно r₁ = 1,4 м.