Кинетическая энергия вращающегося маховика

,

следовательно,

А = Е_2К – Е_1К = – Е_1К = – .

Сделаем вычисления:

А = – 1,6210⁶ Дж.

Ответ: момент сил трения равен 5,6510² Нм, работа сил торможения равна – 1,6210⁶ Дж.

З а д а ч а 4

На барабан массой 9 кг намотан шнур, к концу которого привязан груз массой 2 кг. Найти ускорение груза. Барабан считать однородным цилиндром. Трением пренебречь. Массой шнура пренебречь.

Д а н о Р е ш е н и е

m 1 = 9 кг m = 2 кг ____________________ а – ?

Система состоит из двух тел: поступательно движущийся груз принимаем за материальную точку, а вращающийся блок – за абсолютно твердое тело. Систему отсчета связываем с Землей. Направление координатных осей для каждого тела указано на рис. 80.

Z

C

У

Рис. 80

К барабану приложены три силы: сила тяжести , сила реакции со стороны оси и сила реакции шнура (рис. 80). На груз действуют две силы: тяжести и сила реакции нити . Поэтому основной закон динамики вращательного движения для барабана и второй закон Ньютона для груза запишутся следующим образом:

, (1)

. (2)

где – проекция момента силы ; – проекция момента силы ; М_z – проекция момента силы .

Для того чтобы определить проекции моментов сил, надо определить векторы моментов этих сил относительно точки С, через которую проходит ось Z. Моменты сил и равны нулю, поэтому проекции и равны нулю. Момент силы

и совпадает по направлению с осью Z.

У равнение (1) и проекция уравнения (2) на ось 0У запишутся:

. (3)

(4)

Момент инерции барабана относительно оси, проходящей через центр масс С

. (5)

Так как по третьему закону Ньютона Т = Т, то модуль вращающего момента М, действующего на барабан, равен произведению силы реакции шнура Т на радиус вала R:

. (6)

Линейное ускорение груза равно тангенциальному ускорению точек барабана, лежащих на его цилиндрической поверхности, и связано с угловым ускорением  барабана соотношением

. (7)

Подставим (5) – (7) в (3) – (4), получаем выражение для ускорения груза

 .

Сделаем вычисления а = 3 м/с².

Ответ: ускорение груза равно 3 м/с².

З а д а ч а 5

Определить момент инерции I тонкого однородного стержня длиной l = 0,3 м и массой m = 0,1 кг относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец.

Д а н о Р е ш е н и е

C O O l = 0,3 м m = 0,1 кг d = l/2 = 0,15 м _______________ I – ?

Б C l удем считать, что стержень – абсолютно твердое тело. d Рис. 81

Согласно теореме Штейнера момент инерции I стержня относительно оси СС равен:

I = I₀ + md²,

где I₀ – момент инерции стержня относительно оси симметрии ОО (рис. 81), равный

l²,

d – расстояние между параллельными осями СС и ОО, равное d = l/2 = 0,15 м.

Итак,

l

l

l

;

Сделаем вычисления:

I = 310^–3 кгм².

Ответ: момент инерции стержня относительно заданной оси равен I = 310^–3 кгм².

З а д а ч а 6

Однородный диск радиусом R = 10 см может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через точку О на нем (рис. 82). Диск отклонили на угол  и отпустили. Определить для начального момента времени угловое  и тангенциальное ускорения точки В, находящейся на диске. Вычисления выполнить для случая ОС = d = R/2, ОВ = = b = R,  = /6. Считать, что g = 10 м/с².

Д

а н о Р е ш е н и е

R B C 0  = 0,10 м d = R/2 b = R  = 300 g = 10 м/с2 ______________  – ? – ?

C B Рис. 82

Система тел: диск на оси. Систему отсчета связываем с Землей, за начало отсчета времени примем момент, когда стержень отклонен от положения равновесия на . Ось Z направлена вдоль оси вращения, как указано на рис. 82. Угол отклонения отсчитываем от вертикали, причем знак угла поворота определяется по правилу винта. В данном случае угол  считаем положительным.

O

l

C



C

B

Z

B

Рис. 83

На диск действуют внешние силы: тяжести и реакции опоры. Момент силы реакции относительно оси вращения равен нулю. Момент силы тяжести обуславливает ускоренное вращение диска. Уравнение динамики вращательного движения диска запишем в виде

.

Момент силы тяжести относительно оси по модулю равен mgdsin, так как плечо силы тяжести равно l = dsin (см. рис. 83). Проекция момента силы на ось Z отрицательна, поэтому

.

Проекция вектора углового ускорения на ось Z равна . Момент инерции диска относительно оси Z можно вычислить по теореме Штейнера:

.

Основное уравнение динамики вращательного движения в проекции на ось Z имеет вид

. (1)

Из уравнения (1) можно найти угловое ускорение диска в любой момент времени

.

Тангенциальное ускорение точек диска зависит от расстояния r до оси вращения и определяется по формуле

.

Итак, для начального момента времени

.

Сделаем вычисления:

= 33 рад/с²;

= 5 м/с².

Ответ: угловое ускорение равно 33 рад/с², тангенциальное ускорение равно 5 м/с².

З а д а ч а 7

Частица А массой m движется в плоскости, перпендикулярной оси ОО, со скоростью на расстоянии r₁ от оси, причем О₁ – точка пересечения этой плоскости и оси. Определите величину и направление моментов импульса частицы относительно точки О₁ – , точки О₂ – и оси ОО –L_z (рис. 84). Как эти величины связаны между собой?

Д а н о Р е ш е н и е

M   m  m _____________________ – ? – ? –Lz?

Направление оси Z возьмем вверх. Тогда момент импульса частицы относительно точки О1 равен = и направлен вниз по оси Z (по правилу определения направления векторного произведения), а момент импульса относительно точки О2 равен = и направлен вниз под углом к оси Z (по правилу определения

направления векторного произведения). Так как вектор = + (см. рис. 85), то

= + = + ,

где

= .

Модули моментов импульса

; L₀ = r₀m, а

, т.е.

.

O

O

O₁

O

O₁



O₂

O₂



O

Рис. 84 Рис. 85

Проекция момента импульса частицы относительно оси Z

L_z = L_1z = L_2z,

где L_1z – проекция вектора на ось Z, а L_2z – проекция вектора на ось Z.

L_1z = r₁m,

L_2z = L₂ cos = r₂mcos,

где cos = , L_2z = r₂m = r₁m

З а д а ч а 8

Определите направление и величину момента импульса однородного стержня массой m, вращающегося относительно оси ОО со скоростью . Длина стержня l, положение оси ОО и направление вращения показано на рис. 86.

Д а н о Р е ш е н и е

l m l __________ – ?

Н l /6 O d аправления векторов момента импульса и угловой скорости при вращении относительно неподвижной оси совпадают. Направление вектора угловой скорости определяется по правилу буравчика. Следовательно, у стержня вектор момента импульса будет направлен вниз (рис. 86).

C

O

Рис. 86

Применяя теорему Штейнера для определения моментов инерции относительно оси ОО, получим

.

l

l

l

l

l

.

Поэтому

l

.

О

l

твет: момент импульса однородного стержня равен .

З а д а ч а 9

Человек стоит в центре скамьи Жуковского и вместе с ней вращается со скоростью ₁ = 1 с^–1. Момент инерции человека вместе со скамьей относительно оси вращения I₀ = 6 кгм². В вытянутых в сторону руках человек держит две гири, каждая массой m = 5 кг, расстояние между гирями l₁ = 1,6 м. С какой скоростью будет вращаться скамейка с человеком, если он опустит руки, и расстояние между гирями станет l₂ = 0,4 м?

Д а н о Р е ш е н и е

I Z O Z O 0 = 6 кгм2 m = 5 кг l1 = 1,6 м 1 = 1 с–1 l2 = 0,4 м ______________ 2– ?

Рассмотрим систему из трех тел: человек–скамья–гири. Гири будем считать материальными точками. Систему отсчета связываем с Землей. Ось Z направляем вверх вдоль оси вращения. Изобразим на рис. 87 два состояния системы

O

O

До перемещения грузов После перемещения грузов

Рис. 87

Выясним возможность применения закона сохранения момента импульса относительно оси, проходящей через центр тяжести скамьи Жуковского. На выделенную систему тел действуют внешние силы – тяжести и реакции опоры. Моменты этих сил относительно данной оси равны нулю. Моментом сил трения пренебрегаем. Следовательно, можно применять закон сохранения момента импульса

L_1Z = L_2Z.

Запишем моменты импульса системы для этих состояний:

и ,

где I₁ и I₂ – моменты инерции одной из гирь, соответственно в первом и во втором состояниях.

Запишем закон сохранения момента импульса относительно оси Z:

= .

Найдем ₂ из последнего уравнения:

,

г

l

l

де и , так как считаем, что гири – материальные точки. Окончательно имеем

l

l

.

Подставляя в полученную формулу данные задачи, получаем ₂ = 1,9 с^–1.

Ответ: платформа будет вращаться с угловой скоростью 1,9 с^–1.

З а д а ч а 10

На краю горизонтальной круглой платформы радиусом R стоит человек. Платформа вместе с ним вращается с угловой скоростью ₁ вокруг вертикальной оси, проходящей через центр тяжести платформы. В некоторый момент времени человек начинает идти вдоль края платформы со скоростью U₀ (по отношению к платформе) в сторону ее вращения. С какой скоростью будет вращаться платформа, если ее масса М, а масса человека m.

Д

Z

Z

а н о Р е ш е н и е

М R 1 m U0 ____________ 2– ?

Рис. 88

Рассмотрим систему из двух тел: человек–платформа. Человека будем считать материальной точкой, а платформу – абсолютно твердым телом (диском). Систему отсчета связываем с Землей. Ось Z направляем вверх вдоль оси вращения. Изобразим на рис. 88 два состояния системы. Обратите внимание, что человек во время перемещения по платформе относительно Земли участвует в двух движениях: вращается с платформой со скоростью и относительно платформы со скоростью , то есть его угловая скорость относительно Земли

= + .

Выясним возможность применения закона сохранения момента импульса относительно данной оси вращения. На выделенную систему тел действуют внешние силы – тяжести и реакции опоры. Моменты этих сил относительно оси вращения равны нулю. Моментом сил трения пренебрегаем. Следовательно, можно применять закон сохранения момента импульса

L_1Z = L_2Z.

Запишем моменты импульса системы для выбранных состояний:

,

,

где и – соответственно моменты инерции платформы и человека.

Запишем закон сохранения момента импульса относительно оси Z (направление заранее неизвестно)

= ,

где , .

Найдем из последнего уравнения

.

Здесь , , .

После подстановки и преобразований получаем

.

Из ответа видно, что возможны три случая:

1. платформа сохраняет направление вращения, если > 0;

2. платформа останавливается, если = 0;

3. платформа меняет направление вращения, если < 0.

З а д а ч а 11

Стержень длиной l и массой m₁ может вращаться вокруг неподвижной оси ОО, проходящей через верхний конец стержня. В нижний конец стержня попадает пуля массой m₂ и застревает в нем. Определить минимальную скорость пули, при которой стержень сделает один оборот. Считать, что m₂ << m₁.

Д а н о Р е ш е н и е

m 0 0 1 m2 l _____________  – ?

Система взаимодействующих тел: стержень–пуля. Пулю будем считать материальной точкой, стержень примем за твердое тело. Систему отсчета свяжем с Землей, начало координат поместим в точку 0, а ось вращения стержня примем за ось 0Z (рис. 89).

C

0



Z

Z

C

l

C

Z

C

1 2 3

Рис. 89

Взаимодействие пули и стержня можно рассматривать как абсолютно неупругий удар. Удобно выделить три состояния системы взаимодействующих тел:

1. состояние перед попаданием пули в стержень;

2. состояние системы сразу после попадания пули в стержень;

3. состояние системы в момент времени, когда стержень отклонился от первоначального направления на максимальный угол .

Стержень делает оборот, поэтому угол  равен 180⁰ (рис. 89, 3). Пуля до взаимодействия двигается прямолинейно, а после взаимодействия вместе со стержнем начинает вращаться вокруг неподвижной оси с угловой скоростью .

Выясним возможность применения законов сохранения. На выделенную систему тел действуют внешние силы – тяжести и реакции опоры. При переходе системы из состояния 1 в состояние 2 моменты этих сил относительно оси 0Z равны нулю. Следовательно, можно применять закон сохранения момента импульса. При дальнейшем движении момент силы тяжести будет отличным от нуля, и закон сохранения момента импульса не будет выполняться. Так как удар неупругий, то в процессе удара возникают силы сопротивления, которые являются неконсервативными, поэтому механическая энергия системы в процессе удара не сохраняется. После окончания удара (состояние 2) в системе работу совершают только консервативные силы (силы тяжести), поэтому, начиная с этого момента, можно применять закон сохранения механической энергии.

Следовательно, , Е₁  Е₂, но Е₂ = Е₃, L_2z  L_3z.

Определим моменты импульса системы относительно выбранной оси для состояний 1 и 2. В первом состоянии момент импульса существует только у пули, так как стержень неподвижен. Момент импульса пули относительно точки О равен

= ,

а его проекция на ось Z

= = rm₂.

Расстояние r в нашем случае равно длине стержня l (рис. 89).

Во втором состоянии пуля и стержень вращаются с угловой скоростью относительно оси Z.

Проекция момента импульса системы

= .

Приравнивая моменты импульса в состояниях 1 и 2, получим (в проекции на ось 0Z)

l = . (1)

Момент инерции системы I

I = I₁ + I₂,

где I₁ – момент инерции стержня, I₂ – момент инерции пули.

Момент инерции стержня удобно вычислить с помощью теоремы Штейнера, а именно:

I

l

₁ = I_С + m₁d²,

I

l

_C = m₁ l ², d = .

l

l

. (2)

Момент инерции пули вычисляется по формуле

l²,

так как m₂ << m₁, поэтому I₂ << I₁.

Следовательно,

l

. (3)

Подставляя (3) в (1), получим

l

l

. (4)

Таким образом, скорость пули перед ударом  и начальная угловая скорость вращения стержня  связаны соотношением

l

. (5)

Теперь осталось связать  и высоту подъема центра масс стержня (или угол отклонения стержня). Для этого используем закон сохранения механической энергии. Пусть нулевой уровень отсчета потенциальной энергии проходит через середину стержня в положении 1 (или 2) (рис. 90). Тогда в состоянии 2 потенциальная энергия Е_2Р = 0, а кинетическая энергия системы .



l /2

C

C

Е_р = 0

l

h

C

3

1 2

Рис. 90

В

l

l

третьем состоянии кинетическая энергия системы равна нулю, а потенциальная определяется изменением положения центра масс С. Из геометрических соображений легко определить, что (рис. 90). Таким образом, получим

.

П олученная формула справедлива при отклонении стержня на произвольный угол 0    . В нашем случае  = , а h = l (рис. 91).

П риравняв Е₂ и Е₃, получим

h = l

l,

и

l

ли

l.

Отсюда

l

. (6)

Рис. 91

Подставляя (6) в (5), получаем

l

l

l

l

.

З а д а ч а 12

Человек стоит на неподвижной скамейке Жуковского и ловит мяч массой m = 0,3 кг, летящий в горизонтальном направлении на расстоянии r = 2 м от вертикальной оси вращения скамейки. После этого скамейка стала вращаться с угловой скоростью ₂ = 1 с^–1. Момент инерции человека и скамейки I₀ = 6 кгм². Определить, с какой скоростью летел мяч.

Д а н о Р е ш е н и е

m = 0,3 кг r = 2 м I0 = 6 кгм2 2 = 1 с–1 _____________  – ?

Рассмотрим систему из трех тел: мяч–человек–скамья. Считаем, что мяч – материальная точка. Систему отсчета связываем с Землей. Ось Z направляем вверх вдоль оси вращения. Изобразим на рис. 92 два состояния системы. На систему действуют внешние силы – тяжести и реакции опоры. Моменты этих сил относительно оси вращения скамьи равны нулю. Моментом сил трения пренебрегаем.

Z

Z

С

r

Перед попаданием мяча После попадания мяча

Рис. 92

В системе выполняется закон сохранения момента импульса

. (1)

Момент импульса системы перед самым попаданием мяча относительно точки С

= , (2)

где – радиус-вектор, проведенный из точки С к мячу, а его проекция на ось Z –

rm.

Момент импульса системы после попадания мяча

, (3)

где I_M – момент инерции мяча.

Закон сохранения момента импульса запишется

rm = ,

,

так как , то

.

Подставляя в полученную формулу данные задачи, получаем  = 12 м/с.

Ответ: скорость мяча равна 12 м/с.

З а д а ч а 13

На скамейке Жуковского стоит человек и держит в руках за конец тонкий стержень, расположенный вертикально по оси вращения скамейки. Скамейка с человеком вращается с частотой n₁ = 1 об/с. С какой скоростью будет вращаться скамейка с человеком, если повернуть стержень так, чтобы он принял горизонтальное положение? Суммарный момент инерции скамейки с человеком I₁ = = 8 кгм². Длина стержня l = 1 м, его масса m = 6 кг.

Д а н о Р е ш е н и е

I Z Z 1 = 8 кгм2 m = 6 кг n1 = 1 об/с l = 1 м _____________ 2– ?

Система взаимодействующих тел: скамейка–человек–стержень. Считаем стержень абсолютно твердым телом. Систему отсчета связываем с Землей. Ось Z направляем вверх вдоль оси вращения. Изобразим на рис. 93 два состояния системы

До поворота стержня После поворота стержня

Рис. 93

На систему действуют внешние силы: тяжести и реакции опоры. Моменты этих сил относительно оси вращения скамьи равны нулю. В системе выполняется закон сохранения момента импульса

. (1)

Момент импульса системы до поворота стержня

. (2)

Момент импульса системы после поворота стержня

, (3)

где I_СТ – момент инерции стержня.

Закон сохранения момента импульса запишется

= ,

, (4)

г

l

де I_СТ можно найти по теореме Штейнера:

l

l

.

Подставляя в формулу (4), полученную для , данные задачи, получаем = 1,6 с^–1.

Ответ: после поворота стержня скамейка с человеком будет вращаться со скоростью 1,6 с^–1.

З а д а ч а 14

Определить линейную скорость центра шара, скатившегося без скольжения с наклонной плоскости высотой h = 1 м.

Д а н о Р е ш е н и е

h 1 = 1 м ___________  – ?

Система тел: шар. Считаем, что шар – абсолютно твердое тело. Систему отсчета связываем с Землей. Изобразим на рис. 94 два состояния шара. 2

Рис. 94

При скатывании с наклонной плоскости шар совершает плоское движение. На шар действуют внешние силы – тяжести и упругой реакции плоскости. Сила тяжести является консервативной, а сила реакции работы не совершает, так как перпендикулярна к перемещению. Следовательно, в системе выполняется закон сохранения механической энергии

Е₁ = Е₂, Е_1К + Е_1П = Е_2К + Е_2П,

где Е_1К, Е_2К – кинетические энергии шара, Е_1П, Е_2П – потенциальные энергии шара в первом и во втором состояниях соответственно.

Определим энергию системы в выделенных состояниях. За нулевой уровень отсчета потенциальной энергии возьмем поверхность Земли. Тогда в первом состоянии

Е_1К = 0, Е_1П = mgh.

Е₁ = mgh.

Во втором состоянии кинетическая энергия шара, совершающего плоское движение, состоит из двух слагаемых: энергии поступательного движения центра масс и энергии вращательного движения относительно оси, проходящей через центр масс,

Е_2К = + ,

где I_C – момент инерции шара относительно оси, проходящей через его центр.

Связь между скоростями _C и  определяется из отсутствия скольжения:

_с = R.

Подставив в выражение для кинетической энергии Е_2К угловую скорость  и момент инерции I_с

и ,

получим, что

Е_2К = + .

Потенциальная энергия Е_2П = 0,

Поэтому Е₂ = .

Следовательно,

mgh = .

Откуда

.

Сделаем вычисления: _с = 3,7 м/с.

Ответ: линейная скорость центра шара равна 3,7 м/с.