Примеры решения задач

З а д а ч а 1

Диск радиусом R = 0,4 м вращается согласно уравнению _Z = А + Вt + Ct², где А = 5 рад, В = – 2 рад/с, С = 0,4 рад/с². Определить угловую скорость, угловое ускорение диска и полное ускорение точек на окружности диска для момента времени t₁ = 5 с.

Д а н о Р е ш е н и е

R = 0,4 м  = А + Вt + Ct2 А = 5 рад В = – 2 рад/с С = 0,4 рад/с2 t1 = 5 с ________________ 1 – ? 1 – ? а – ?

Диск считаем твердым телом. Направление вращения и координатной оси Z показано на рис. 75. Подставим в заданный закон движения коэффициенты А, В и С и получим, что диск вращается согласно уравнению . Определим Z и Z: , ,

следовательно,

В момент времени t = 0 проекции вектора _оz < 0, а _z > 0 направлены в противоположные стороны, следовательно, движение равнозамедленное (рис. 75).

0

d

Z

0

Р ис. 75

Вычисляем значения _z и _z для момента t₁ = 5 с:

= 2 c^–1; = 0,8 с^–2.

Из вычислений видим, что > 0, то есть диск поменял направление вращения, и движение стало равноускоренным (рис. 76).

0

Z

0

Рис. 76

Каждая точка на окружности диска движется по окружности радиусом R. Вектор тангенциального ускорения направлен по касательной к окружности. Вектор нормального ускорения направлен по радиусу к центру окружности и, следовательно, перпендикулярен вектору . Вектор полного ускорения направлен по диагонали параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах (рис. 77).

Рис. 77

Модуль полного ускорения вычисляем по формуле

.

.

Вычислим полное ускорение в момент времени t₁:

а = 1,6 м/с².

Ответ: в момент времени t₁ = 5 c угловая скорость 2 с^–1, угловое ускорение 0,8 с^–2, полное ускорение 1,6 м/с².

З а д а ч а 2

Вал вращается с постоянной угловой скоростью, соответствующей частоте 3 об/с. С некоторого момента вал тормозится и вращается равнозамедленно с  = 3 рад/с². Через сколько времени вал остановится? Сколько оборотов он сделает до остановки?

Д а н о Р е ш е н и е

 0 = 3 об/с  = 3 рад/с2 1 = 0 _______________ t1 – ? N1 – ?

Вал можно считать абсолютно твердым телом. Z Рис. 78

Вал совершает равнопеременное движение относительно оси 0Z, направление координатной оси показано на рис. 78:

(1)

Векторы и направлены в противоположные стороны (рис. 78), так как движение замедленное. Запишем систему уравнений (1) в проекциях на ось 0Z:

(2)

Принимая во внимание, что ₁ = 0, ₁ = 2N₁, ₀ = 2₀, систему (2) можно записать:

(3)

Решая систему (3), получаем:

t₁ = 6,28 c, N₁ = 9,4 об.

Ответ: вал остановится через 6,28 секунд и сделает 9,4 оборота.

З а д а ч а 3

Маховик, имеющий момент инерции 270 кгм², вращается, делая 20 об/с. Через минуту после того, как на колесо перестал действовать вращающий момент, оно остановилось. Найти момент сил трения относительно оси Z. Чему равна работа сил торможения?

Д а н о Р е ш е н и е

I = 270 кгм2 0 = 20 об/с t1 = 60 c _______________ Mтр – ? А – ?

Маховик считаем абсолютно твердым телом. Направление координатной оси указано на рис. 79. Маховик под действием постоянного момента сил останавливается, движение тела равнозамедленное, и, следовательно, векторы и направлены в противоположные стороны. Вектор Мтр относительно точки С направлен в ту же сторону, что и (рис. 79).

Z

С

Рис. 79

Применим основной закон динамики вращательного движения и формулу для угловой скорости:

(1)

Спроектируем систему (1) на ось 0Z:

(2)

Учитывая, что в момент времени t₁ маховик останавливается, т.е. ₁ = 0, решая систему уравнений (2), получим

.

Сделаем вычисления:

М_ТР 5,6510^–2 Нм.

Работа сил торможения А равна изменению кинетической энергии маховика Е_К:

А = Е.