ВращательноЕ движениЕ Основные понятия, величины

1. Вектор элементарного поворота .

М

одуль вектора равен углу d поворота тела вокруг оси за время dt, направлен вектор вдоль оси вращения. Направление определяется по правилу правого винта (буравчика): вращательное движение буравчика совпадает с направлением вращения тела, а его поступательное движение указывает направление (рис. 67), d = рад.

d

Рис. 67

2. Средняя угловая скорость

,  = рад/с = с^–1.

где  – изменение угла поворота за время t.

3. Угловая скорость в момент времени t (мгновенная угловая скорость)

, ,  = с^–1.

4. Вращение называется равномерным, если модуль  = const, и неравномерным, если   const.

5. Период Т равномерного вращательного движения – это время, за которое тело совершает один полный оборот, т.е. поворачивается на угол 2.

Т = 2/.

6. Частота вращения (число оборотов в единицу времени)

,

где N – число оборотов, совершаемых за время t.

7. Среднее угловое ускорение

,  = с^–2.

8. Угловое ускорение в момент времени t (мгновенное угловое ускорение)

.

9

Z

. Вращение называется равнопеременным, если = const. При ускоренном движении вектор сонаправлен вектору (рис. 68), при замедленном – противоположен ему (рис. 69).

Z

Рис. 68 Рис. 69

10. Кинематические уравнения равнопеременного вращательного движения в проекции на ось z:

,

11. Связь между линейными и угловыми величинами выражается формулами:

– длина дуги, пройденная точкой

S = R,

где  – угол поворота тела, R – радиус вращения точки;

– линейная скорость точки

 = R;

– модуль тангенциального ускорения точки

а_ = R;

– модуль нормального ускорения точки

а_n = ²R.

12. Момент инерции относительно оси вращения – это скалярная величина

– материальной точки

I = mr², I = кгм²,

где m – масса точки, r – расстояние до оси вращения;

– твердого тела

;

– некоторых тел правильной геометрической формы (табл. 13)

Таблица 13

Тело	Положение оси вращения	Момент инерции
Полый цилиндр (кольцо, обод) радиусом R	Ось симметрии	IС = mR2
Сплошной цилиндр или диск радиусом R	Ось симметрии	IС =
Шар радиусом R	Ось проходит через центр шара	IС = mR2
Прямой тонкий стержень длиной l	Ось перпендикулярна стержню, проходит через его центр масс	IС = ml2

13. Теорема Штейнера

I = I_C + md²,

г

Z

O

де I_C – момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, I – момент инерции относительно произвольной оси Z, параллельной оси, проходящей через центр масс, d – расстояние между осями (рис. 70).

C

d

O

Рис. 70

14. Момент силы относительно точки О

,

где – радиус–вектор, проведенный из точки О в точку А приложения силы (рис. 71).

Модуль момента силы

М = rFsin, M = мН,



– угол между и .



О

А

l

Рис. 71

Плечо силы l – это кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О.

l = r sin.

15. Момент силы относительно неподвижной оси Z – это скалярная величина М_Z, равная проекции на эту ось вектора момента силы, определенного относительно произвольной точки О на оси Z (рис. 72).

.

Z

M_Z

A





О

Рис. 72

Если ось Z совпадает с направлением вектора , то момент силы можно представить в виде вектора, совпадающего с осью Z

.

16. Момент импульса материальной точки А относительно неподвижной точки О

,

где – радиус–вектор, проведенный из точки О в точку А; – импульс материальной точки (рис. 73).



A

O

l

Рис. 73

Модуль вектора момента импульса

L = rmsin = pl, L = кгм²/с,

где  – угол между векторами и ; l – плечо вектора относительно точки О.

17. Момент импульса относительно неподвижной оси Z – это скалярная величина L_Z, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О данной оси (рис. 74).

.

Z

L_Z

A





О

Рис. 74

18. Момент импульса твердого тела относительно оси Z

L_Z = I_Z_Z,

где I_Z – момент инерции тела относительно оси Z.

Если ось проходит через центр масс

.

19. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела (основной закон динамики вращательного движения) относительно неподвижной оси

, М_Z = I_Z_Z,

где I_Z – момент инерции тела относительно оси Z.

20. Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы тел есть величина постоянная

= const,

где – проекция момента импульса тела с номером i, входящего в систему, на ось Z.

21. Кинетическая энергия вращающегося тела около неподвижной оси Z

.

22. Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения

,

где m – масса тела; _C – скорость центра масс тела; I_C – момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс;  – угловая скорость тела.

23. Работа при вращении тела

dA = M_Z d,

где d – угол поворота тела; М_Z – момент силы относительно оси Z,

,

А = Е_К = .