Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Южно-Уральский государственный университет

Кафедра общей и экспериментальной физики

531(07)

Т583

В.Г. Топольский, Н.Н. Топольская

Механика

Учебное пособие

Челябинск

Издательство ЮУрГУ

2006

УДК 531(075.8)

Топольский, В.Г. Механика: учебное пособие / В.Г. Топольский, Н.Н. Топольская. – Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2006. – 161 с.

Учебное пособие предназначено для использования студентами и преподавателями при организации самостоятельной работы и контроля.

Включает в себя по каждой теме перечень формул и законов, примеры решения задач, домашние задания, контрольные работы.

Ил. 125, табл. 19.

Одобрено объединенным научно-методическим советом по физике.

Рецензенты: Толчев А.В., Незнаева Т.В.

Общие замечания к решению задач

Процесс решения задачи рекомендуется разбить на три этапа: физический, математический и анализ решения. Физический этап начинается с ознакомления с условиями задачи и заканчивается составлением системы уравнений, в число неизвестных которой входят и искомые величины.

Математический этап начинается с решения системы уравнений и заканчивается получением числового ответа. Этот этап, в свою очередь, можно разделить на два следующих:

а) получение решения задачи в общем виде;

б) нахождение числового ответа задачи.

При анализе числового ответа исследуют:

а) единицу измерения полученной величины;

б) соответствие полученного числового ответа физически возможным значениям искомой величины;

в) при получении многозначного ответа соответствие полученных ответов условиям задачи.

При более глубоком анализе выясняют, как и от каких физических величин зависит найденная величина. Рассматривается возможность постановки и решения других задач путем изменения и преобразования условия данной задачи.

План решения задач

1. Выделить систему взаимодействующих тел.

2. Записать кратко условие задачи.

3. Выбрать систему отсчета. Проанализировать явление, которое рассматривается в задаче.

4. Указать законы, которые собираетесь применять для решения, и обосновать возможность их применения.

5. Применить законы к конкретным условиям.

6. Решить уравнение или систему уравнений.

7. Проанализировать полученный результат.

Кинематика материальной точки Основные понятия, величины и законы кинематики

1. Система отсчета (СО) – это совокупность тела отсчета, связанных с ним системы координат и синхронизированных между собой часов.

2. Радиус-вектор – это вектор, определяющий положение материальной точки А и соединющий начало координат выбранной системы отсчета с рассматриваемой точкой. Определяет положение материальной точки в любой момент времени в выбранной системе отсчета. На рис. 1 показан радиус-вектор в декартовой системе координат

,

где – единичные векторы; х, у, z – проекции вектора на оси координат или координаты точки А.

3. Перемещение  – это вектор, соединяющий начальное 1 и конечное 2 положения материальной точки за данный промежуток времени в выбранной системе отсчета (рис. 2):  = ₂ – ₁.

У

A

У

2

1

0

0

Х

Х

Z

Z

Рис. 1 Рис. 2

4. Траектория – это линия, которую описывает материальная точка при своем движении в пространстве. В зависимости от вида траектории различают прямолинейное и криволинейное движение точки. Например, на рис. 2 траектория – кривая линия.

5. Путь S – это скалярная физическая величина, равная сумме расстояний, пройденных материальной точкой вдоль траектории.

6. Средняя скорость пути – это скалярная физическая величина, равная отношению пути ко времени, за который этот путь пройден:

= .

7. Средняя скорость перемещения – это векторная величина, равная отношению перемещения  к промежутку времени t, за который оно произошло:

.

Вектор совпадает по направлению с  (рис. 3).

Х

У

Х

У

1

2

1

2

0

0

Рис. 3 Рис. 4

8. Скорость точки в момент времени t (мгновенная скорость) – это векторная физическая величина, равная первой производной радиуса–вектора движущейся точки по времени:

.

Вектор направлен по касательной к траектории в сторону движения (рис. 3).

В физике принято производные по времени обозначать точкой над буквой, обозначающей данную величину, т.е.

.

Модуль скорости точки равен первой производной по времени от пути:

 = .

В декартовой системе координат

.

Модуль скорости

.

9. Равномерным называется движение точки с постоянной по модулю скоростью:  = const. Движение называется неравномерным, если модуль скорости изменяется с течением времени:   const.

10. Среднее ускорение – это векторная физическая величина, равная отношению изменения вектора скорости  к промежутку времени t, за который оно произошло:

.

Вектор совпадает по направлению с  (рис. 4).

11. Ускорение точки в момент времени t (мгновенное ускорение) – это векторная физическая величина, равная первой производной скорости по времени или второй производной радиуса-вектора по времени:

= .

В декартовой системе координат

.

Модуль ускорения

.

Мгновенное (полное) ускорение при криволинейном движении точки есть геометрическая сумма его тангенциальной (касательной) и нормальной составляющих:

.

Модуль ускорения

.

12. Нормальное ускорение материальной точки – это составляющая полного ускорения на направление, перпендикулярное . Оно характеризует быстроту изменения направления вектора скорости и определяется по формуле

.

Здесь R – радиус кривизны траектории в данной точке; – единичный вектор, направленный к центру кривизны траектории.

Модуль нормального ускорения

.

13. Тангенциальное ускорение материальной точки – это составляющая полного ускорения на направление вектора . Оно характеризует быстроту изменения модуля вектора скорости и определяется по формуле

,

где – единичный вектор в направлении , – проекция вектора на направление вектора .

Если движение ускоренное ( > 0), и сонаправлены, а если движение замедленное ( < 0), и противоположно направлены.

Модуль тангенциального ускорения

.

На рис. 5 изображен случай криволинейного движения с возрастающей по модулю скоростью, а на рис. 6 – с уменьшающейся.

Х

У

Х

У

0

0

Рис. 5 Рис. 6

14. Равнопеременным называется движение, у которого вектор ускорения – величина постоянная: = const.

15. Закон движения (кинематическое уравнение движения) материальной точки – зависимость радиуса-вектора от времени

= (t).

В декартовой системе координат:

х = х(t);

у = у(t);

z = z(t).

16. Закон движения равнопеременного движения

,

.