Краткая теория и пояснения к решению

Модель сбалансированной Т-задачи.

Критерий: (1)

(2)

(3)

, (4)

где число пунктов отправления (ПО),

чисто пунктов назначения (ПН),

затраты на перевозку единицы груза,

количество груза в пункте отправления (производственная мощность),

потребность в грузе в пункте назначения,

-количество груза, перевозимого из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения.

Задача сбалансирована, если суммарные потребности равны суммарным возможностям:

(5)

Особенности модели:

1. Переменные в условиях задачи входят только с коэффициентом единица.

2. В условиях мы имеем 2 системы ограничений: (2) и (3).

Каждая переменная входит в первую группу условий один и только один раз и во 2-ую группу условий один и только один раз.

3. Число переменных равно m n.

4. Для разрешимости Т-задачи необходимо и достаточно чтобы она была сбалансированной. Если условие (5) выполняется, то в задаче заведомо имеется хотя бы одно оптимальное решение.

Решение Т-задачи методом потенциалов

Т-задача должна быть сбалансирована. Если она не сбалансирована, то добавляется фиктивный поставщик (строка) или фиктивный потребитель (столбец) с нулевыми затратами и количеством груза, равным дебалансу.

Сначала строится начальное базисное решение. Базисные решения называют также планами перевозок. Размерность базисного решения равна m+n-1.

Способы построения начального плана:

• правило северо-западного угла;

• правило минимального элемента;

• метод Фогеля;

Общий принцип определения значений базисных переменных в начальном плане: на каждом шаге необходимо очередной базисной переменной присваивать максимально-допустимое значение, а оно определяется как минимум из того. что не довезли в ПН, и того, что не вывезли из ПО..

Правило северо-западного угла

Заполняем таблицу начиная с левого верхнего (северо-западного) угла, двигаясь далее по строке вправо, если полностью удовлетворили потребность ПН, или по столбцу вниз, если все забрали из ПО.

Занесем в клетку (1,1) меньшее значение из a₁ и b₁ , т.е.

.

Если a₁>b₁ , то и первый столбец «закрыт» для заполнения остальных его клеток, т.е. для (потребности первого потребителя удовлетворены полностью).

Двигаясь далее по первой строке, записываем в соседнюю клетку (1,2) меньшее из чисел a₁-b₁ и b₂ т.е.

Если же b₁>a₁, то аналогично «закрывается» первая строка, т.е. для Переходим к заполнению соседней клетки (2,1), куда заносим

Заполнив вторую клетку (1,2) или (2,1), переходим к заполнению следующей клетки либо по второй строке, либо во втором столбце. Этот процесс продолжается до полного исчерпания груза у поставщиков или полного удовлетворения потребностей. Заполнение последней клетки (m,n) одновременно «закроет» столбец n и строку m.

План, полученный по правилу северо-западного угла, будет опорным планом системы ограничений задачи.

Пример:

Найти опорный план транспортной задачи по правилу северо-западного угла.

Поставщик (ПО)	Потребитель (ПН)				Запасы груза
	B1	B2	B3	B4
A1	6	7	3	5	100
A2	1	2	5	6	150
A3	3	10	20	1	50
Потребность в грузе	75	80	60	85	300\300

Как видно из правой нижней клетки, потребности равны возможностям (300), т.е. задача сбалансированная. Ход построения начального плана показан стрелками.

Поставщик	Потребитель				Запасы груза
	B1	B2	B3	B4
A1	6 75	7 25	3	5	100
A2	1	2 55	5 60	6 35	150
A3	3	10	20	1 50	50
Потребность в грузе	75	80	60	85	300

Тарифы (удельные затраты) перевозок размещены в правом верхнем углу каждой клетки таблицы, а значения перевозимого по плану груза показаны серым цветом. Как видно, получено 6 положительных переменных, т.е. их число равно m +n-1=3+4-1=6. Суммарные затраты по этому плану равны 6*75+7*25+2*55+5*60+6*35+1*50=1295.

Правило минимального элемента

Сущность его состоит в том, что на каждом шаге осуществляется максимально возможная поставка в клетку с минимальным тарифом С_ik. Заполнение таблицы начинаем с клетки, которой соответствует наименьший элемент С_ik из всей матрицы тарифов. Затем остаток по столбцу или строке помещаем в клетку того же столбца или строки, которой соответствует следующее по величине значение С_ik, в столбце или строке и т.д. Иными словами, последовательность заполняемых клеток определяется по величине С_ik, а помещаемые в этих клетках значения X_ik – как в правиле «северо-западного угла».

Пример:

Найти опорный план по правилу «минимального элемента» для задачи, представленной в следующей таблице:

Поставщик	Потребитель				Запасы груза
	B1	B2	B3	B4
A1	6	7	3	5	100
A2	1	2	5	6	150
A3	3	10	20	1	50
Потребность	75	80	60	85	300\300

Решение:

Наименьшие тарифы соответствуют клеткам (2,1), (3,4):

С₂₁=С₃₄=1. Поместим максимально возможное количество груза, например, в клетку (2,1) - x₂₁=75, остаток груза помещаем в клетку (2,2), в которой тариф С₂₂=2 наименьший из всех в этой строке, т.е. Второму потребителю еще необходимо 5 единиц груза (80-75). В клетку (1,2) от поставщика А₁ помещаем

единиц груза.

Далее по первой строке в клетку (1,3) , имеющей наименьший тариф, заносим необходимое количество груза

единиц груза.

Остаток груза от поставщика А₁ заносим в клетку (1,4), т.е.

единиц груза.

Спрос четвертого потребителя удовлетворен не полностью, поэтому находим в этом столбце клетку (3,4) с наименьшим тарифом и помещаем в нее количество груза x₃₄=50 единиц.

В результате проведенных назначений получаем опорный план:

Поставщик	Потребитель				Запасы груза
	B1	B2	B3	B4
A1	6	7 5	3 60	5 35	100
A2	1 75	2 75	5	6	150
A3	3	10	20	1 50	50
Потребность в грузе	75	80	60	85	300

или в матричном виде

.

Этому плану соответствуют суммарные затраты 7*5+3*60+5*35+1*75+2*75+50*1=665, что существенно меньше, чем в предыдущем плане.

Замечание: Может оказаться, что при построении плана перевозок занятых клеток (x_ij>0) будет меньше, чем m +n-1. В этом случае задача называется вырожденной (есть нулевые базисные переменные). Вырожденность может иметь место как в начальном плане, так и в последующих. Если столкнетесь с таким планом, имейте в виду, что клетка с базисным нулем «обладает» всеми «правами» базисной клетки.