20

2. Расчет колонны большой жесткости на внецентренное сжатие

2.1. Основные положения теории внецентренного растяжения (сжатия) брусьев (колонн) большой жесткости

Рассмотрим массивный брус постоянного поперечного сечения, растянутый двумя силами Р, параллельными его оси и пересекающими любое поперечное сечение в точке М с положительными координатами и относительно главных центральных осей , сечения* (рис. 2.1). Очевидно, что величины внутренних сил во всех поперечных сечениях бруса одинаковы и напряжения в этих сечениях можно определять пользуясь принципом сложения действия сил.

В каждом поперечном сечении бруса возникают три внутренних силовых фактора:

; ; . (2.1)

Все три фактора вызывают в произвольной точке k с положительными координатами и растягивающие (положительные) напряжения (рис. 2.1). Поэтому нормальное напряжение в произвольной точке k( , ) равно сумме напряжений от продольной силы N и изгибающих моментов и [2], т.е.

. (2.2)

Здесь - площадь поперечного сечения бруса, и - главные центральные моменты инерции сечения.

Если учесть выражения (2.1), то формулу (2.2) можно записать так

или

.

Учитывая, что , , где , - главные радиусы инерции сечения, получим следующие выражения для

__________________________________

* Здесь учтено, что деформациями изгиба массивных брусьев большой жесткости можно пренебречь [1].

Рис. 2.1. Схема распределения нагрузки в сечении бруса большой жесткости при внецентренном растяжении

определения напряжений при внецентренном растяжении-сжатии:

. (2.3)

В формулу (2.3) величина растягивающей силы Р подставляется со знаком плюс, а сжимающей – со знаком минус; координаты и , и в эту формулу подставляются со своим знаком.

Если вычислить нормальные напряжения во всех точках сечения и отложить их в виде векторов, то концы векторов образуют плоскость, которая называется поверхностью напряжений [3, 4]. Поверхность напряжений пересекает плоскость поперечного сечения по прямой, точки которой свободны от напряжений. Эту прямую называют нулевой линией или нейтральной осью.

Уравнение нулевой линии получим, приняв в выражении (2.3) равным нулю:

.

Так как , то

. (2.4)

Это уравнение прямой, не проходящей через начало координат. Записывая уравнение (2.4) как уравнение прямой в отрезках [5]:

; ,

где

, (2.5)

- отрезки, отсекаемые нулевой линией на осях координат и , получаем простой способ построения нулевой линии по заданным координатам точки М ( , ), которую называют полюсом. Находятся отрезки a и b и откладываются по осям координат от начала. Через концы отрезков проводят нулевую линию n-n (рис. 2.1).

Из равенств (2.5) видно, что отрезки a и b имеют знаки, обратные знакам координат и точки приложения силы Р. Поэтому, если, например, сила Р приложена в точке М первого квадранта, то нулевая линия n-n отсечет треугольник на осях координат в третьем квадранте.

Если в равенствах (2.5) поменять местами отрезки и координаты, то справедливость равенств не нарушится:

, . (2.6)

Отсюда можно заключить, что приложив силу в точке с координатами a и b (рис. 2.2), мы получаем новое положение нулевой линии , которая отсечет на осях , отрезки, равные координатам , точки М.

Рис. 2.2. Свойство взаимности отрезков a и b и координат полюса

и

Иначе говоря, отрезки a и b и координаты , обладают свойством взаимности. Заметим также, что положение нулевой линии в заданном сечении зависит только от координат , точки приложения силы Р и не зависит от величины и знака этой силы. С увеличением координат, т.е. с удалением точки приложения силы ( , ) от центра тяжести сечения, отрезки a и b уменьшаются и нулевая линия приближается к центру тяжести сечения. С приближением точки ( , ) к центру тяжести нулевая линия удаляется от сечения. В пределе, когда = =0 мы будем иметь осевое растяжение – сжатие. Нулевая линия при этом удаляется в бесконечность и плоскость напряжений будет параллельна плоскости сечения.

При внецентренном растяжении и сжатии нормальные напряжения в каждой точке поперечного сечения бруса, как и при изгибе, прямо пропорциональны расстоянию от этой точки до нейтральной оси (рис. 2.1)

При некоторых значениях координат , нулевая линия может касаться контура сечения, не пересекая его (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Эпюра напряжений для случая касания нулевой линии и контура сечения

При этом напряжение в точке касания С равно нулю, а в наиболее удаленной от нулевой линии точке сечения D - наибольшее. Эпюра напряжений имеет треугольный вид. На этом случае, имеющем большой практический интерес, остановимся ниже.

Существует еще одна важная зависимость между положением нулевой линии и соответствующей точкой приложения силы или так называемым полюсом нулевой линии: если нулевая линия вращается около некоторой определенной точки, лежащей на ней, то полюс (точка приложения силы) при этом перемещается по прямой.

Пусть, например, сила приложена в точке М( , ) и соответствующая нулевая линия n-n займет положение, показанное на рис. 2.4.

Рис. 2.4. Зависимость между положением нулевой линии и полюса при вращении нулевой линии около точки, лежащей на этой линии

Выберем на линии n-n произвольную точку С( , ) и, вращая около нее нулевую линию, проследим, как будут изменяться координаты полюса М. Так как нулевая линия при всех своих положениях проходит через постоянную точку С, то координаты последней ( , ) должны удовлетворять уравнению (2.4) нулевой линии. Подставив в это уравнение вместо текущих координат ( ,  ) координаты точки С, получим:

. (2.7)

Равенство (2.7) можно рассматривать как уравнение прямой, в которой текущими координатами являются уже координаты полюса , . Следовательно при вращении нулевой линии около точки С полюс М перемещается по прямой , определяемой уравнением (2.7). Так как текущие координаты , и координаты полюса , входят в уравнение (2.4) совершенно равноправно, то справедливо и обратное положение, т.е. при перемещении полюса по прямой нулевая линия вращается около некоторой точки, лежащей на ней.

При положении полюса в точках и прямой (рис. 2.4), т.е. на осях и , нулевая линия займет соответственно положения и , пересечение которых определит центр ее вращения С. Действительно, при расположении полюса на одной из осей, отрезок, отсекаемый нулевой линией на другой оси, согласно выражениям (2.5), обращается в бесконечность, т.е. нулевая линия параллельна другой оси.

При внецентренном сжатии брусьев, материал которых слабо сопротивляется растяжению, надо следить за тем, чтобы в сечении не появились растягивающие напряжения. Для этого нулевая линия должна проходить вне сечения или в предельном случае касаться сечения, не пересекая его (рис. 2.3).

Оказывается, что для каждого поперечного сечения можно построить в его плоскости некоторый замкнутый контур, обладающий тем свойством, что при нахождении точки приложения продольной силы внутри или на границе этого контура в сечении возникают напряжения одного знака. Часть плоскости сечения, ограниченная этим контуром, носит название ядра сечения. При выходе сжимающей силы из ядра в сечении появляются растягивающие напряжения.

Для построения ядра сечения поступим следующим образом. Будем задавать положение нулевой линии так, чтобы она касалась сечения, нигде не пересекая его, и находить соответствующий полюс или точку приложения силы. При этом напряжения в сечении будут одного знака (рис. 2.3). Проведя семейство касательных к сечению, мы получаем множество соответствующих им полюсов, геометрическое место которых дает очертание (контур) ядра сечения.

Если сечение имеет многоугольное очертание, то ядро сечения будет также многоугольником. Пусть, например, дано сечение, показанное на рис. 2.5, с главными осями , .

Для построения ядра сечения достаточно провести пять касательных к контуру сечения, из которых четыре совпадают со сторонами АВ, AF, EF и ED, а пятая соединяет точки B и D. Проводить касательные, совпадающие со сторонами ВС и CD, нельзя, так как они пересекут сечение. Измерив или вычислив отрезки, отсекаемые указанными касательными 1-1, …, 5-5 на осях и , и подставляя значения отрезков в формулы (2.6), определим координаты , для пяти полюсов 1, 2,…, 5, соответствующих пяти положениям нулевой линии, и нанесем полюсы на чертеж. Касательную 1-1, которой соответствует полюс 1, можно перевести в положение 2-2, вращая ее около точки А. При этом полюс 1 согласно доказанной выше зависимости должен перемещаться по прямой и в результате поворота касательной оказывается в точке 2.

Следовательно, все полюсы, соответствующие промежуточным положениям касательной между 1-1 и 2-2, расположатся на прямой 1-2. Подобным же образом, переместив касательную 2-2 в положение 3-3 путем вращения ее около точки F, получим вторую сторону 2-3 ядра сечения и так далее. Отсюда видно, что ядро сечения будет многоугольником, для построения которого достаточно соединить полюсы 1, 2,…, 5 прямыми.

Рис. 2.5. Ядро сечения для многоугольника

Если сечение (или часть его) имеет криволинейное очертание, то контур ядра (или соответствующей части его) будет тоже криволинейный. Действительно, между двумя крайними касательными какого-либо участка кривой можно провести бесконечное множество промежуточных касательных, которые не пройдут через точку пересечения крайних касательных, а следовательно, и соответствующие им полюсы не могут лежать на одной прямой.