Конъюнкция (логическое умножение)
Конъюнкцией двух высказываний х и у называется новое высказывание, которое считается истинным – если оба высказывания х, у истинны,
ложным – если хотя бы одно из них ложно.
Это сложное высказывание, составленное из двух высказываний путем объединения их связкой «и».
Конъюнкция
высказываний х, у обозначается х
у
или х
∙ у или
х
у,
Читается «х и у».
Например, для высказываний
«6 делится на 2» и
«6 делится на 3»
их конъюнкцией будет высказывание
«6 делится на 2 и 6 делится на 3»
которое, очевидно, истинно.
Таблица истинности для х & у
-
х
у
х & у
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Пример. Рассмотрим два высказывания.
х = {Завтра будет мороз}
у = {Завтра будет идти снег}
Очевидно, новое высказывание
х & y = {Завтра будет мороз, и завтра будет идти снег}
истинно только в том случае, когда одновременно истинны оба высказывания, а именно, что завтра будет и мороз, и снег.
Высказывание х & y ложно во всех остальных случаях: будет идти снег, но будет оттепель (т.е. не будет мороза); мороз будет, а снег идти не будет; не будет мороза, и снег идти не будет.
Дизъюнкция (логическое сложение)
Дизъюнкцией двух высказываний х и у называется новое высказывание, которое считается истинным – если хотя бы одно из высказываний х, у истинно,
ложным – если они оба ложны.
Это сложное высказывание, составленное из двух высказываний путем объединения их связкой «или».
Дизъюнкция высказываний х, у обозначается х у
Читается «х или у».
Например, для высказываний
«6 делится на 2» или
«6 делится на 4»
их дизъюнкцией будет высказывание
«6 делится на 2 или 6 делится на 4»
которое, очевидно, истинно.
Таблица истинности для х у
-
х
у
х у
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Пример. Рассмотрим два высказывания.
х = {Колумб был в Индии}
у = {Колумб был в Египте}
Очевидно, новое высказывание
х y = {Колумб был в Индии, или Колумб был в Египте}
истинно как в случае, если Колумб был в Индии, но не был в Египте, так и в случае, если он не был в Индии, но был в Египте, а также в случае, если он был и в Индии, и в Египте. Но это высказывание будет ложно если Колумб не был ни в Индии, ни в Египте..
Строгая, или разделительная дизъюнкция
Высказывание, образованное из двух высказываний, объединенных связкой «либо» («либо только …, либо только …»), называется разделительной (строгой) дизъюнкцией, исключающим ИЛИ, сложением по модулю 2.
В отличие от обычной дизъюнкции (связка «или»), в высказывании, являющемся разделительной дизъюнкцией, мы утверждаем, что произойдет только одно событие из двух.
Строгая, или разделительная дизъюнкция – логическая операция, ставящая в соответствие двум элементарным высказываниям новое высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда только одно из высказываний является истинным.
Таблица
истинности
для х
у
-
х
у
х у
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
Пример. Рассмотрим два высказывания.
х = {Кошка охотится за мышами}
у = {Кошка спит на диване}
Очевидно, новое высказывание х y истинно только в двух случаях: когда кошка охотится за мышами или когда кошка мирно спит. Это высказывание будет ложно, когда кошка не делает ни того, ни другого, то есть когда оба события не происходят. Но это высказывание будет ложным и тогда, когда предполагается, что оба события будут происходить одновременно.