Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения второго порядка» Вариант 1

І. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

1) у″-12у′+35у=0; 3) у″-4у′+13у=0;

2) у″-10у′+25у=0; 4) у″′+у″=0.

ІІ. Применяя метод вариации произвольных постоянных, решить ЛНДУ:

1) у″+у= ctgx; 2) у″+ у′=е^-х.

ІІІ. Указать вид частных решений ЛНДУ, используя метод неопределенных коэффициентов (числовые значения коэффициентов не находить).

1. у″+3у′+2у= f(х), а) f(х) =5 cos2x+7;

б) f(х)= x³+4;

в) f(х)= .

2. у″+10у′+25у= f(х), а) f(х) = е^-5х ·2x² ;

б) f(х)= (x+1)cos3x;

в) f(х)= е^-5х · sinx.

3. у″+ у′-2у= f(х), а) f(х) = (x³-х)sinx;

б) f(х)= (x-5) ·е^-2х;

в) f(х)= е^х · cos3x.

ІV. Решить ЛНДУ, применяя метод неопределенных коэффициентов.

1) у″+4у′=х³+7+2е^-х; 2) у″+2у′= е^2х(x+1).

V. Решить ЛНДУ двумя способами:

а) методом неопределенных коэффициентов;

б) методом вариации произвольных постоянных.

у″+2у′= 2cosx, у(0)=1, у′(0)=0.

Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения второго порядка» Вариант 2

І. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

1) у″+у′-8у′=0; 3) у″+7у′+7у=0;

2) у″-3у′+10у=0; 4) у″′ -2у′′+у′=0.

ІІ. Применяя метод вариации произвольных постоянных, решить ЛНДУ:

1) у″+у= ctgx; 2) у″+2у′-8у=12е^2х.

ІІІ. Указать вид частных решений ЛНДУ, используя метод неопределенных коэффициентов (числовые значения коэффициентов не находить).

1. у″-7у′+3у=f(х), а) f(х) =(2x+1) е^-3х;

б) f(х)= cos3x;

в) f(х)= е^4х· sin3x+ cos3x.

2. у″-2у′+5у= f(х), а) f(х) = е^х ·sin2x·х³;

б) f(х)= (x⁵+х+1) ·е^4х;

в) f(х)= 5sin2x+7хcos2x.

3. у″-у= f(х), а) f(х) = (x+4)sin5x+х²cos5x;

б) f(х)= х³cosx+2е^-х;

в) f(х)= x⁵-8.

ІV. Решить ЛНДУ, применяя метод неопределенных коэффициентов.

1) у″-16у=х+1; 2) у″-4у′+5у= 4xе^х.

V. Решить лнду двумя способами:

а) методом неопределенных коэффициентов;

б) методом вариации произвольных постоянных.

4у″-у = x³-24, у(0)=1, у′(0)=-1.

Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения второго порядка» Вариант 3

І. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

1) у″- у′-4у′=0; 3) у″+4у′+4у=0;

2) у″-7у′+12у=0; 4) у^ІV=16у.

ІІ. Применяя метод вариации произвольных постоянных, решить ЛНДУ:

1) у″+у= tgx; 2) у″+ .

ІІІ. Указать вид частных решений ЛНДУ, используя метод неопределенных коэффициентов (числовые значения коэффициентов не находить).

1. у″+у′-у=f(х), а) f(х) =(x²-5) е^-х;

б) f(х)= xsinx;

в) f(х)= x³-х+7.

2. у″+у= f(х), а) f(х) = 5хsinx+6cosx ;

б) f(х)= е^4х · cos 2x;

в) f(х)=xе^-х ·sin3х .

3. у″+6у′+5у= f(х), а) f(х) = е^-5х (x⁴+х) ;

б) f(х)= cos4x+х³sin3x;

в) f(х)= е^-2хcos4x+7x².

ІV. Решить ЛНДУ, применяя метод неопределенных коэффициентов.

1) у″-4у′+5у = xе^2х; 2) у″-6у′+9у= 9x²-12х+2.