Применяя формулу (6.10), получаем

= - = =

5.4. Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [-а; а], симметричном относительно точки х = 0. Заметим, что

	если f(x) – четкая функция,	(6.11)
	если f(x) – нечеткая функция.

Благодаря данной формуле можно, например, сразу, не производя вычислений, сказать, что

,

6.4. Несобственные интегралы. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл I рода)

Определенный интеграл , где промежуток интегрирования [а; b] конечный, а подынтегральная функция f(x) непрерывна на отрезке [а; b], называют еще собственным интегралом.

Рассмотрим так называемые несобственные интегралы, т.е. определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв.

Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [а; +). Если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом первого рода и обозначают .

Таким образом, по определению

= .

В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится.

Если же указанный предел не существует или он бесконечен, то говорят, что интеграл расходится.

Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке (-; b]:

.

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется формулой

,

где с – произвольное число.

В этом случае интеграл слева сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа. Отметим, что если непрерывная функция f(x)  0 на промежутке [а; +) и интеграл сходится, то он выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции (рис. 4).

Пример. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость: 1) ; 2) ; 3) .

Решение.

1) = = - (0 - 1) = 1, интеграл сходится;

2) = , интеграл расходится, так как при a  -  предел не существует.

3) , интеграл расходится.

В некоторых задачах нет необходимости вычислять интеграл; достаточно лишь знать, сходится ли он или нет.

Признаки сходимости несобственных интегралов I рода

1. Если на промежутке [а; +) непрерывные функции f(x) и (х) удовлетворяют условию 0  f(x)  (х), то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла .

Пример. Сходится ли интеграл ?

Решение.

При x  1 имеем Но интеграл = 1 сходится. Следовательно, интеграл также сходится (и его значение меньше 1).

2. Если существует предел = k, 0  k   (f(x)  0 и (x)  0), то интегралы и одновременно оба сходятся или оба расходятся (т.е. ведут себя одинаково в смысле сходимости).

Пример. Исследовать сходимость интеграла .

Решение.

Интеграл сходится, так как интеграл сходится и

.

6.5. Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл II рода)

Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [а; b и имеет бесконечный разрыв при х = b. Если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают .

Таким образом, по определению,

= .

Если предел в правой части существует, то несобственный интеграл сходится. Если же указанный предел не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл расходится.

Аналогично, если функция f(x) терпит бесконечный разрыв в точке x = a, то полагают

= .

Если функция f(x) терпит разрыв во внутренней точке с отрезка [а; b], то несобственный интеграл второго рода определяется формулой

= + .

В этом случае интеграл слева называют сходящимся, если оба несобственных интеграла, стоящих справа, сходятся.

В случае, когда f(x) > 0, несобственный интеграл второго рода (разрыв в точке x = b) можно толковать геометрически как площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции.

Пример. Вычислить

Решение.

При х = 0 функция у = терпит бесконечный разрыв;

= ,

интеграл расходится.

Признаки сходимости для несобственных интегралов второго рода

Пусть на промежутке [а; b функции f(x) и (х) непрерывны, при х = b терпят бесконечный разрыв и удовлетворяют условию 0  f(x)  (х). Из сходимости интеграла вытекает сходимость интеграла , а из расходимости интеграла вытекает расходимость интеграла .

Пусть функции f(x) и (х) непрерывны на промежутке [а; b) и в точке х = b терпят разрыв. Если существует предел = k, 0  k  , то интегралы и одновременно сходятся или одновременно расходятся.

Пример. Сходится ли интеграл ?

Решение.

Функция f(x) = имеет на [0; 1] единственный разрыв в точке х = 0. Рассмотрим функцию (х) = . Интеграл

расходится. И так как

,

то интеграл также расходится.