6.2. Формула Ньютона-Лейбница. Основные свойства определённого интеграла

Пусть функция у = f(x) интегрируема на отрезке [а; b].

Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [а; b] и F(x) – какая-либо её первообразная на [a; b] (F'(x) = f(x)), то имеет место формула

. (6.4)

Равенство (6.4) называется формулой Ньютона - Лейбница.

Если ввести обозначение F(b) - F(a) = F(x) , то формулу Ньютона-Лейбница (6.4) можно переписать так:

.

Формула Ньютона – Лейбница даёт удобный способ вычисления определённого интеграла. Чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывной функции f(x) на отрезке [а; b], надо найти её первообразную функцию F(x) и взять разность F(b) - F(a) значений этой первообразной на концах отрезка [а; b].

Пример. Вычислить интеграл .

Решение.

.

Основные свойства определённого интеграла

1. Если с – постоянное число и функция f(x) интегрируема на [а; b], то

, (6.5)

т.е. постоянный множитель с можно выносить за знак определенного интеграла.

2. Если функции f₁(x) и f₂(x) интегрируемы на [а; b], тогда интегрируема на [а; b] их сумма и

(6.6)

т. е. интеграл от суммы равен сумме интегралов.

3. .

4. Если функция f(x) интегрируема на [a; b] и а < с < b, то

т.е. интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям этого отрезка. Это свойство называют аддитивностью определенного интеграла (или свойством аддитивности).

5. «Теорема о среднем». Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а; b], то существует точка с  [а; b] такая, что

. (6.7)

Свойство 5 («теорема о среднем») при f(x)  0 имеет простой геометрический смысл: значение определённого интеграла равно, при некотором с  (а; b), площади прямоугольника с высотой f(с) и основанием b – a . Число f(с) = называется средним значением функции f(x) на отрезке [а; b].

6. Если функция f(x) сохраняет знак на отрезке [а; b], где а < b, то интеграл имеет тот же знак, что и функция. Так, если f(x)  0 на отрезке [а; b], то  0.

7. Неравенство между непрерывными функциями на отрезке [а; b], (а < b) можно интегрировать. Так, если f₁(x)  f₂(x) при x  [а; b], то

.

8. Если т и М – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции у = f(x) на отрезке [а; b], (а < b), то

m (b – a)   M (b – a). (6.8)

9. Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции:

; a < b.

10. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом, т.е.

.

Это означает, что определенный интеграл с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной функции.

6.3. Интегрирование подстановкой (заменой переменной). Интегрирование по частям

Пусть для вычисления интеграла от непрерывной функции сделана подстановка х = (t).

Если:

1) функция х = (t) и ее производная х² = ^(t) непрерывны при t  [, ];

2) множеством значений функции х = (t) при t  [, ] является отрезок [а; b];

3) () = a и () = b, то

. (6.9)

Формула (6.9) называется формулой замены переменной в определенном интеграле.

Отметим, что:

1. при вычислении определенного интеграла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется;

2. часто вместо подстановки х = (t) применяют подстановку t = g(x);

3. не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных!

Пример. Вычислить .

Решение.

Положим х = 2 sin t, тогда dx = 2 cos t dt. Если х = 0, то t = 0; если х = 2, то t = . Поэтому

= =

=

=

Если функции и = и(х) и v = v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [а; b], то имеет место формула

. (6.10)

Формула (6.10) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.

Пример. Вычислить .

Решение.

Положим .