6. Определённый интеграл. Приложения определённого интеграла

6.1. Определённый интеграл как предел интегральной суммы. Геометрический и физический смысл определённого интеграла

Пусть функция у = f(x) определена на отрезке [a; b], a < b. Выполним следующие действия.

1. С помощью точек x₀ = a, x₁, x₂, …, x_n = b (x₀<x₁< … <x_n) разобьем отрезок [а, b] на п частичных отрезков [x₀; x₁], [x₁; x₂], …, [x_n-1; x_n] (рис. 1.).

2. В каждом частичном отрезке [x_i-1; x_i], i = 1, 2, …, n выберем произвольную точку c_i  [x_i-1; x_i], и вычислим значение функции в ней, т.е. величину f(c_i).

3. Умножим найденное значение функции f(c_i) на длину x_i = x_i - x_i-1 соответствующего частичного отрезка: f(c_i)  x_i.

4. Составим сумму S_n всех таких произведений:

S_n = f(c₁) x₁ + f(c₂) x₂ + … + f(c_n) x_n = . (6.1)

Сумма вида (6.1) называется интегральной суммой функции у = f(x) на отрезке [а; b]. Обозначим через  длину наибольшего частичного отрезка:  = max x_i (i = 1, 2, …n).

5. Найдем предел интегральной суммы (6.1), когда n   так, что   0.

Если при этом интегральная сумма S_n имеет предел I, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [а; b на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется определенным интегралом от функции у = f(x) на отрезке [а; b и обозначается . Таким образом,

(6.2)

Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f(x) – подынтегральной функцией, f(x) dx – подынтегральным выражением, х – переменной интегрирования, отрезок [а; b] – областью (отрезком) интегрирования.

Функция у = f(x), для которой на отрезке [а; b] существует определенный интеграл , называется интегрируемой на этом отрезке.

Если функция у= f(x) непрерывна на отрезке [а; b], то определенный интеграл существует.

Непрерывность функции является достаточным условием ее интегрируемости. Однако определенный интеграл может существовать и для некоторых разрывных функций, в частности для всякой ограниченной на отрезке функции, имеющей на нем конечное число точек разрыва.

Укажем некоторые свойства определенного интеграла, непосредственно вытекающие из его определения (6.2).

1. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования:

.

Это следует из того, что интегральная сумма (6.1), а, следовательно, и ее предел (6.2) не зависят от того, какой буквой обозначается аргумент данной функции.

2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:

.

3. Для любого действительного числа с:

.

Площадь криволинейной трапеции

Пусть на отрезке [а; b] задана непрерывная функция у = f(x)  0. Фигура, ограниченная сверху графиком функции у = f(х), снизу – осью Ох, сбоку – прямыми х = а и х = b, называется криволинейной трапецией. Найдем площадь этой трапеции.

Для этого отрезок [а; b] точками а = x₀, x₁, …, b = x_n (x₀ < x₁ < … < x_n) разобьем на n частичных отрезков [x₀; x₁], [x₁;x₂], …, [x_n-1; x_n] (рис. 2.). В каждом частичном отрезке [x_i-1; x_i], (i = 1, 2, …, n) возьмем произвольную точку и вычислим значение функции в ней, т. е. f(c_i).

Умножим значением функции f(c_i) на длину x_i = x_i - x_i-1 соответствующего частичного отрезка. Произведение f(c_i)  x_i равно площади прямоугольника с основанием x_i и высотой f(c_i).

Сумма всех таких произведений

f(c₁) x₁ + f(c₂) x₂ + … + f(c_n) x_n =

равна площади ступенчатой фигуры и приближенно равна площади S криволинейной трапеции:

.

С уменьшением всех величин x_i точность приближения криволинейной трапеции ступенчатой фигурой и точность полученной формулы увеличиваются. Поэтому за точное значение площади S криволинейной трапеции принимается предел S, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры S_n, когда n неограниченно возрастает так, что  = max x_i  0:

, то есть .

Итак, определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции.

В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

Работа переменной силы

Пусть материальная точка М перемещается под действием силы , направленной вдоль оси Ох и имеющей переменную величину F = F(x), где х – абсцисса движущейся точки М.

Найдем работу А силы по перемещению точки М вдоль оси Ох из точки х = а в точку х = b (а < b). Для этого отрезок [а; b] точками а = x₀, x₁, …, b = x_n (x₀ < x₁< … < x_n) разобьем на n частичных отрезков [x₀; x₁], [x₁;x₂], …, [x_n-1; x_n]. Сила, действующая на отрезке [x_i-1; x_i] меняется от точки к точке. Но если длина отрезка x_i = x_i – x_i-1 достаточно мала, то сила на этом отрезке изменяется незначительно. Её можно приближенно считать постоянной и равной значению функции F = F(x) в произвольно выбранной точке х = c_i  [x_i-1; x_i]. Поэтому работа, совершённая этой силой на отрезке [x_i-1; x_i] равна произведению F(c_i)x_i. (Как работа постоянной силы F(c_i) на участке [x_i-1; x_i]).

Приближенное значение работы А силы F на всем отрезке [а; b] есть

А  F(c₁) x₁ + F(c₂) x₂ + … + F(c_n) x_n = . (6.3)

Это приближённое равенство тем точнее, чем меньше длина x_i. Поэтому за точное значение работы А принимается предел суммы (6.3) при условии, что наибольшая длина  частичных отрезков стремится к нулю:

.

Итак, работа переменной силы , величина которой есть непрерывная функция F = F(x), действующей на отрезке [а; b], равна определенному интегралу от величины F(x) силы, взятому по отрезку [а; b].

В этом состоит физический смысл определенного интеграла.

Аналогично можно показать, что путь S, пройденный точкой за промежуток времени от t = а до t = b, равен определенному интегралу от скорости v(t):

;

масса т неоднородного стержня на отрезке [а; b] равна определенному интегралу от плотности  (x):

m = .