5.3. Понятие о рациональных функциях. Многочлен (некоторые сведения справочного характера)

Функция вида

, (5.2)

где n – натуральное число, а_i (i = 0, 1, …, n) – постоянные коэффициенты, называется многочленом (или целой рациональной функцией). Число n называется степенью многочлена.

Корнем многочлена (5.2) называется такое значение х₀ (вообще говоря, комплексное) переменной х, при котором многочлен обращается в нуль, т.е. P_n(x₀) = 0.

Теорема. Если х₁ есть корень многочлена P_n(x), то многочлен делится без остатка на х – х₁, т.е.

P_n(x) = (х – х₁) P_{n – 1}(x), (5.3)

где P_{n – 1}(x) – многочлен степени (n – 1).

Возникает вопрос: всякий ли многочлен имеет корень? Положительный ответ на этот вопрос дает следующее утверждение.

Теорема (основная теорема алгебры). Всякий многочлен n-й степени (n > 0) имеет по крайней мере один корень, действительный или комплексный.

Пользуясь основной теоремой алгебры, докажем теорему о размножении многочлена на линейные множители.

Теорема. Всякий многочлен P_n(x) можно представить в виде

P_n(x) = a₀(x – x₁)(x – x₂) … (x – x_n),

где х₁, x₂, …, x_n – корни многочлена, a₀ – коэффициент многочлена при xⁿ.

Рассмотрим многочлен (5.2). По теореме он имеет корень. Обозначим его через х₁. Тогда имеет место соотношение (5.3). А так как P_{n – 1}(x) – также многочлен, то он имеет корень. Обозначим его через х₂. Тогда P_{n – 1}(x) = = (х – х₂) P_{n – 2}(x), где P_{n – 2}(x) – многочлен (n – 2)-й степени. Следовательно, P_n(x) = (х – х₁)(х – х₂) P_{n – 2}(x).

Продолжая этот процесс, получим в итоге:

P_n(x) = a₀(x – x₁)(x – x₂) … (x – x_n). (5.4)

Множители (х – х_i) в равенстве (5.4) называются линейными множителями.

Пример. Размножить многочлен на множители.

Решение. Многочлен обращается в нуль при х = –1, х = 1, х = 2. Следовательно, х³ – 2х² – х + 2 = (х + 1) (х – 1) (х – 2).

Если в размножении многочлена (5.4) какой-либо корень встретился k раз, то он называется корнем кратности k. В случае k = 1 (т.е. корень встретился один раз) корень называется простым.

Размножение многочлена (5.4) можно записать в виде

P_n(x) = a₀ … , (5.5)

если корень х₁ имеет кратность k₁, то корень х₂ – кратность k₂ и так далее.

При этом k₁ + k₂ + … + k_r = n, а r – число различных корней.

Например, размножение P₈(x) = (x – 3)(x + 1)(x – 4)(х – 3)(х – 3)х(х – 4)(х – 3) можно записать так: P₈(x) = (x – 3)⁴(x + 1)(x – 4)²х.

Теорема. Если многочлен тождественно равен нулю, то все его коэффициенты равны нулю.

Теорема. Если два многочлена тождественно равны друг другу, коэффициенты одного многочлена равны соответствующим коэффициентам другого.

Например, если ах³ + bx² + cx + d = x³ – 3x² + 1, то а = 1, b = –3, с = 0, d = 1.

Теорема. Если многочлен P_n(x) с действительными коэффициентами имеет комплексный корень a + ib, то он имеет и сопряженный корень a – ib.

В размножении многочлена (5.4) комплексные корни входят сопряженными парами. Перемножив линейные множители (х – (а + ib))(х – (a – ib)), получим трехчлен второй степени с действительными коэффициентами х² + px + q. В самом деле, (х – (a + ib))(х – (a – ib)) = ((х – а) – ib)((х – а)+ ib) = (х – а)² + b² = = х² – 2ах + а² + b² = х² + px + q, где p = –2а, q = а² + b².

Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами.

С учетом вышеизложенного справедлив следующий факт.

Теорема. Всякий многочлен с действительными коэффициентами разлагается на линейные и квадратные множители с действительными коэффициентами, т.е. многочлен P_n(x) можно представить в виде:

P_n(x) = a₀ … (x – x_r) (х² + p₁x + q₁) … (х² + p_mx + q_m) . (5.6)

При этом k₁ + k₂ + … + k_r + 2(s₁ + s₂ + … + s_m) = n, все квадратные трехчлены не имеют вещественных корней.

Примеры разложений (5.6):

1) х⁴ – 1 = (х – 1)(х + 1)(х² + 1);

2) х³ – 16х = х(х² – 16) = х(х – 4)(х + 4);

3) х⁵ – 6х⁴ + 9х³ – х² + 6х – 9 = х³(х² – 6х + 9) – (х² – 6х + 9) = (х² – 6х + 9) (х³ – 1) = (х – 3)²(х – 1)(х² + х + 1).

Дробно-рациональной функцией (или рациональной дробью) называется функция, равная отношению двух многочленов, т.е. , где P_m(x) – многочлен степени m, а Q_n(x) – многочлен степени n.

Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, т.е. m < n; в противном случае (если m ≥ n) рациональная дробь называется неправильной.

Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби , т.е.

Например, – неправильная рациональная дробь. Разделим числитель на знаменатель в столбик:

Получим частное L(x) = х³ + 2х² + 4х + 3 и остаток R(х) = 15. Следовательно, .

Правильные рациональные дроби вида:

I) ;

II) ;

III) (корни знаменателя комплексные, т.е. p² – 4q < 0);

IV) (k  2, корни знаменателя комплексные),

где А, а, M, N, p, q – действительные, называют простейшими рациональными дробями I, II, III и IV типов.

Теорема. Всякую правильную рациональную дробь , знаменатель которой разложен на множители

Q(x) = (х – х₁) (х – х₂) … (х² + p₁x + q₁) … (х² + p_mx + q_m)

можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:

(5.7)

Поясним формулировку теоремы на следующих примерах:

1) ;

2) ;

3) .

Для нахождения неопределенных коэффициентов А₁, А₂, … В₁, В₂, …, в равенстве (5.7) можно применить метод сравнивания коэффициентов.

1. В правой части равенства (5.7) приведем к общему знаменателю Q(x); в результате получим тождество , где S(x) – многочлен с неопределенными коэффициентами.

2. Так как в полученном тождестве знаменатели равны, то тождественно равны и числители, т.е.

P(х) = S(x). (5.8)

3. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x (по теореме 3.5 о тождестве многочленов) в обеих частях тождества (8), получим систему линейных управлений, из которой и определим искомые коэффициенты А₁, А₂, …, В₁, … .

Пример. Представить дробь в виде суммы простейших дробей.

Решение.

,

т.е. .

Отсюда следует ,

т.е. .

Приравнивания коэффициенты при х², х¹, х⁰, получаем

Решая систему, находим, что А = –1, В = 3, С = –2. Следовательно,

Для нахождения неопределенных коэффициентов применяют также метод отдельных значений аргумента: после получения тождества (5.8) аргументу х придают конкретные значения столько раз, сколько неопределенных коэффициентов (обычно полагают вместо х значения действительных корней многочлена Q(x)).

Пример. Представить дробь в виде суммы простейших дробей.

Решение. Имеем Отсюда следует

.

Положим х = 0, тогда –4 = –2А, т.е. А = 2; положим х = 2, тогда 2 = 6В, т.е. ; положим х = –1, тогда –7 = 3С, т.е. . Следовательно,

.