4. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных

4.1. Определение производной,

Её геометрический и механический смысл

Рассмотрим две задачи, приводящие к понятию производной функции.

Задача 1. Пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении. Обозначим S – путь, пройденный точкой, а t – время. Путь, пройденный точкой за время t зависит от t и изменяется по некоторому закону S = S (t). Отметим некоторый момент времени t₀ и поставим задачу определить скорость материальной точки V₀ в момент времени t₀. Для этого рассмотрим другой момент времени по прошествии отрезка t, т.е. момент t₀ + t. К моменту t₀ путь, пройденный точкой, составит S (t₀), в момент t₀ + t будем иметь путь . За промежуток времени t точка прошла путь . Средняя скорость движения за время t составит отношение . Эта средняя скорость отличается от мгновенной скорости в момент t₀, и тем ближе величина Vср к скорости V₀, чем меньше промежуток t. Устремим t к нулю (пишут ), тогда предел, к которому стремится средняя скорость, и является скоростью нашей точки V₀ момент t₀.

В последней формуле рассматривается предел отношения приращения пути S к приращению времени t.

Задача 2. Рассмотрим график непрерывной функции . Возьмём на этом графике точку и поставим задачу написать уравнение касательной прямой к графику , проведённой в точке M₀ (рис. 4.1).

Рис. 4.1.

Точка M₀ имеет координаты ; дадим переменной x приращение x и переместимся по графику из точки M₀ в точку M (в нашем случае x>0 и мы переместились вправо от точки M₀).

Координаты M можно вычислить. Абсцисса M равна x₀+x, а ордината y=f(x₀+x). На сколько изменилось значение функции при перемещении из точки M₀ в точку M? Это изменение функции называется приращением функции, обозначается y и вычисляется так: .

В случае нашей функции (возрастающая) y>0. Прямая M₀M называется секущей и её наклон к оси Oх определяется тангенсом угла . Угловой коэффициент секущей .

Если теперь неограниченно уменьшать приращение x, , то приращение функции (наша функция непрерывна). При этом секущая M₀M неограниченно приближается к положению M₀K. Это предельное положение секущей и есть прямая, которая является касательной к графику в точке M₀. Угол  наклона секущей к положительному направлению оси OX превратится в угол наклона касательной . Тогда угловой коэффициент касательной прямой K получим так: , , т.е. угловой коэффициент касательной есть предел отношения приращения функции y к приращению аргумента x при стремлении x к нулю.

Производной функции в точке x₀ называется предел отношения приращения функции y = f (x₀ + x) – f (x₀) к приращению аргумента x при произвольном стремлении x к нулю, если такой предел существует. Обозначается производная функции f (x) в точке x₀ символом .

Итак,

. (4.1)

Из рассмотренных ранее задач получаем, что скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t₀ есть производная от пути по времени

.

В этом состоит механический смысл производной. Вторая задача приводит нас к геометрическому смыслу производной. Мы получили, что угловой коэффициент касательной к кривой проведённой в точке M₀ (x₀, y₀), есть . Поэтому уравнение касательной к графику в точке M₀ имеет вид:

, или (4.2)

Для производной в точке x₀ можно использовать и другие обозначения, например: , , , .

Мы дали определение производной функции y = f (x) в точке x₀. Такую производную можно вычислять в различных значениях x, величина её зависит от этого значения. Поэтому можно говорить о производной функции, определённой на некотором множестве значений x. Производную функции обозначают .

Вернёмся к рис. 1. Мы показали, что при движении из точки х₀ в точку х₀ + х по графику функции y = f (x) ордината точки получает приращение у = f (x₀ + х)- f (x₀). На рисунке это приращение у равно отрезку NM. Если же двигаться из точки х₀ в точку х₀ + х по касательной, проведённой в точке М₀, то ордината получит приращение, равное отрезку KN. Вычислим величину этого приращения. Из треугольника M₀KN следует: катет KN = M₀Ntg. Так как tg = f (x₀), а M₀N = х, то NK = f (x₀)х.

Произведение производной f (x₀) на приращение х называется дифференциалом функции y = f (x) в точке x₀. Обозначают дифференциал dy(x) или df(x). Поэтому можно написать dy = df(x) = f (x)х. Для приращения независимой переменной имеем х = dx, и поэтому дифференциал записывается в виде df = f (x) dx.

Заметим, что приращение функции у при малом приращении х = dx по величине «очень мало» отличается от приращения по касательной, т.е. от дифференциала dy. Так как касательная в точке М₀ «почти совпадает» с кривой в малой окрестности точки х₀, то разность (у  dy) стремится к нулю «быстрее», чем х, при х  0. Это обстоятельство используется в приближённых вычислениях.