3.7. Односторонние пределы. Точки разрыва функции. Свойства функции, непрерывной на замкнутом промежутке

Число А называется пределом функции f(x) справа при х  а (в точке x=a справа), если для любого как угодно малого >0 существует >0 такое, что из условия 0<ха< следует f(x)A< (рис. 3.19): , если >0 >0, 0<ха< f(x)  A< .

И спользуют одно из обозначений:

Под символом ха+0 понимают, что х стремится к а, оставаясь больше а.

Число А называется пределом слева функции f(x) при х  а, если для любого  > 0 существует  > 0 такое, что из условия 0 < а  х <  следует, что f(x)  A< :

если  > 0  > 0, 0 < а  х <  f(x)  A< .

Обозначают

Под символом х  а  0 понимают, что х стремится к а, оставаясь меньше а. Пределы f(a  0) и f(a + 0) называются односторонними пределами функции f(x) в точке а.

Теорема. Если функция f(x) имеет предел при х  а, то она имеет и односторонние пределы в этой точке, причём справедливо равенство

Теорема. Если односторонние пределы функции f(x) в точке а существуют и равны f(a + 0) = f(a  0), то существует и и справедливо равенство

Функция называется непрерывной в точке а, если она определена в этой точке и оба её односторонних предела в этой точке совпадают с её значением в этой точке, т. е.

.

Если функция у = f(x) определена в некоторой окрестности точки а, но не определена в самой точке а, то она называется разрывной в точке а. При этом сама точка а, не являясь точкой непрерывности, называется точкой разрыва функции у = f(x).

Существует несколько типов точек разрыва:

1. Точка х = а называется точкой разрыва первого рода, если оба односторонних предела функции в этой точке существуют и конечны, но не равны между собой

f(a  0)  f(a + 0) или

где А  В – некоторые числа.

2. Если х=а – точка разрыва первого рода, то число =В–А=f(a+0)f(a0) называется скачком функции f(x) в точке а.

3. Точка х = а называется точкой устранимого разрыва, если односторонние пределы существуют и равны между собой, но не равны значению функции в точке а, поскольку в самой точке функция не определена, т е. выполняется равенство

f(a  0) = f(a + 0)  f(а).

Скачок функции в точке устранимого разрыва равен нулю.

Если доопределить функцию, положив f(а) = f(a0) = f(a+0), можно восстановить непрерывность функции в точке .

4. Точка а называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов функции в ней не существует или равен бесконечности.

Пример. Исследовать функцию на непрерывность.

Решение. Функция является элементарной и определена на всей вещественной оси кроме точки х = 3. Чтобы определить род (тип) разрыва, найдём односторонние пределы функции:

Один из односторонних пределов равен +, следовательно, точка х₀ = 3 есть точка разрыва второго рода (рис. 3.20).

Сформулируем свойства функции, непрерывной на замкнутом промежутке.

Теорема. Пусть функция f(x) непрерывна на замкнутом промежутке [a, b] и на концах этого промежутка принимает значения разных знаков. Тогда внутри промежутка [a, b] найдётся по крайней мере одна точка с, в которой функция f(x) обращается в нуль (рис. 3.21).

Эта теорема может быть использована для установления факта существования корней уравнения f(x) = 0. Уравнение f(x) = 0 может иметь несколько корней.

Теорема. Пусть функция у = f(x) непрерывна на [a, b] и f(a)f(b). Тогда, каково бы ни было число С  [f(a), f(b)], внутри промежутка [a, b] найдётся такая точка с, что f(c) = C. По-другому: непрерывная на [a, b] функция, переходя от одного своего значения f(a) к другому f(b), принимает все промежуточные значения (рис. 3.22).

Теорема. Непрерывная на замкнутом промежутке функция ограничена на этом промежутке.

Теорема. Непрерывная на замкнутом промежутке функция принимает на этом промежутке наибольшее и наименьшее значения.