1.7. Решение систем линейных уравнений

Рассмотрим систему m-линейных уравнений c n-неизвестными. (m n) х₁,х_2,…х_n.

(1.1)

где a₁₁, …, a_ij ,…, a_mn - коэффициенты системы,

b₁,…, b_i , …, b_m- свободные члены.

Система, имеющая решения называется совместной, не имеющая решения называется несовместной.

Обозначим - матрицу системы,

- матрицу сводных членов, - матрицу неизвестных.

Тогда, пользуясь правилами умножения матриц, система записывается в матричном виде:

АХ=В. (1.2)

Решение систем линейных уравнений матричным методом

Рассмотрим случай, когда m n , т.е. число уравнений равно числу неизвестных. Предположим, что матрица А несобственная, т.е. , значит она имеет обратную А^-1. Тогда умножив равенство (1.2) на А^-1 слева получим: А^-1 А= А^-1 В.

Учитывая, что А^-1А=Е, ЕХ=Х, будем иметь

Х =А^-1 В. (1.3)

Равенство (1.3) представляет собой матричную запись решения системы (1.1).

Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных. Метод удобен для решения систем невысокого порядка.

Метод основан на применении свойств умножения матриц.

Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера

Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных.

Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся нулю. Действительно, если какое- либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если к элементам какой- либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какое- либо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку. Определитель в этом случае будет равен нулю.

Используя, вид матриц А^-1, А, Х и В распишем выражение Х =А^-1 В в следующем виде:

, (1.4)

здесь .

Значит

, i=1,…,n, (1.5)

где - определитель, полученный из заменой i-ого столбца свободными членами .

Формулы (1.5) называют формулами Крамера.

Пример. Решите систему линейных уравнений:

х ₁+2х₂=5;

3х₂+х₃=9;

х₂+2х₃=8.

Решение.

1. Метод обратной матрицы.

, , , .

.

2. По формулам Крамера:

, ,

, ,

, , .

Метод Гаусса.

В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных. Существует много вариантов этого метода. Рассмотрим схему с выбором главного элемента. Пусть исходная система имеет вид:

(1.6)

Положим, что , и разделим обе части первого уравнения системы на a₁₁

(1.7)

здесь

С помощью уравнения (7) исключим во всех уравнениях системы (1.6), начиная со второго, слагаемые, содержащие x₁. Для этого будем умножать обе части уравнения (1.7) последовательно на a₂₁, a₃₁, …, a_n1 и вычитать соответственно из второго, третьего и т.д. из n –го уравнения системы (1.6). В результате получаем систему, порядок которой на единицу меньше порядка исходной системы:

здесь

С полученной системой проделываем аналогичные преобразования. После n –кратного повторения этого преобразования можно записать систему с треугольной матрицей:

(1.8)

которая эквивалентна системе (1.6) и легко решается. В самом деле, из последнего уравнения находим x_n; подставляя x_n в предпоследнее уравнение, находим x_n-1, затем x_n-2 и т.д. вплоть до x₁, которое находится из первого уравнения системы, когда уже известны x_n, x_n-1, x_n-2,…, x₁.

Таким образом, вычисления по методу Гаусса распадаются на два этапа: на первом этапе, называемом прямым ходом метода, исходная система преобразуется к треугольному виду (1.8). На втором этапе, называемом обратным ходом, решается треугольная система (1.8), эквивалентная исходной системе.

Коэффициенты называются ведущими элементами метода Гаусса. На каждом шаге предполагалось, что Если окажется, что это не так, то в качестве ведущего элемента можно использовать любой другой ненулевой коэффициент системы.

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Решение.

Составим расширенную матрицу системы.

.

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

, откуда получаем x₃ = 2; x₂ = 5; x₁ = 1.