1.3. Обратная матрица. Ранг матрицы

Рассмотрим квадратную матрицу .

Если определитель квадратной матрицы А равен нулю, то матрица называется особенной или вырожденной.

Если определитель квадратной матрицы А неравен нулю, то матрица называется неособенной или невырожденной.

Матрица А^-1 называется обратной для квадратной невырожденной матрицы А, если произведение АА^-1=Е или А^-1А=Е, где Е - единичная матрица.

Найдем конкретный вид обратной матрицы:

1. Заменим в квадратной невырожденной матрице А каждый элемент его алгебраическим дополнением a_ijA_ij.

2. Транспонируем полученную матрицу А_ijA_jiA_c .

Матрица называется союзной (присоединенной) для матрицы А.

3. Разделим полученную союзную матрицу на определитель .

.

Пример. Найти обратную матрицу для .

_{Решение.}

Вычислим алгебраические дополнения:

А11=5;	А12=0;	А13=0;
А21=-4;	А22=2;	А23=-1;
А31=2;	А32=-1;	А33=3.

,

.

Проверка:

.

Свойства обратных матриц

1. (A^-1)^-1 = A;

2. (AB)^-1 = B^-1A^-1

3. (A^T)^-1 = (A^-1)^T.

Ранг матрицы

Выделим произвольно t-строк и t-столбцов в матрице , . Определитель порядка t, составленный из элементов стоящих на пересечении выделенных t-строк и t-столбцов называется порожденным матрицей А.

Рангом матрицы называется натуральное число равное наибольшему из порядков определителей, отличных от нуля, среди порожденных данной матрицей.

Если , значит

• существует определитель порядка ;

• все определители порядка больше чем r обращаются в нуль.

Ранг матрицы А не изменится, если:

• строки заменить столбцами (транспонировать);

• поменять местами два столбца (строки);

• умножить каждый элемент столбца на одно и тоже число, отличное от нуля.

• сложить два столбца (строки).

Перечисленные действия называют элементарными преобразованиями матриц.

Матрицы, полученные одна из другой путём элементарных преобразований, называются эквивалентными (обозначаются ~ В).

Чтобы вычислить ранг матрицы А, путём элементарных преобразований сводим её к ступенчатому виду (в частности, к треугольному), выделяя наибольший минор, отличный от нуля:

~ ,

rang A = rang B = k.

Пример. Найти ранг матрицы .

Решение.

1.4. Собственные значения и собственные векторы матрицы

Пусть L – заданное n- мерное линейное пространство. Ненулевой вектор L называется собственным вектором линейного преобразования А, если существует такое число , что выполняется равенство A .

При этом число  называется собственным значением (характеристическим числом) линейного преобразования А, соответствующего вектору .

Если линейное преобразование А в некотором базисе , ,…, имеет матрицу А= , то собственные значения линейного преобразования А можно найти как корни ₁, ₂, … ,_n уравнения

Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его левая часть — характеристическим многочленом линейного преобразования А.

Следует отметить, что характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса.

Рассмотрим частный случай. Пусть А – некоторое линейное преобразование плоскости, матрица которого равна . Тогда преобразование А может быть задано формулами:

в некотором базисе .

Если преобразование А имеет собственный вектор с собственным значением , то А .

или

Т.к. собственный вектор ненулевой, то х₁ и х₂ не равны нулю одновременно. Т.к. данная система однородна, то для того, чтобы она имела нетривиальное решение, определитель системы должен быть равен нулю. В противном случае система имеет единственное решение – нулевое, что невозможно.

Полученное уравнение является характеристическим уравнением линейного преобразования А.

Таким образом, можно найти собственный вектор (х₁, х₂) линейного преобразования А с собственным значением , где  - корень характеристического уравнения, а х₁ и х₂ – корни системы уравнений при подстановке в нее значения .

Понятно, что если характеристическое уравнение не имеет действительных корней, то линейное преобразование А не имеет собственных векторов.

Следует отметить, что если - собственный вектор преобразования А, то и любой вектор ему коллинеарный – тоже собственный с тем же самым собственным значением .

Действительно, . Если учесть, что векторы имеют одно начало, то эти векторы образуют так называемое собственное направление или собственную прямую.

Т.к. характеристическое уравнение может иметь два различных действительных корня ₁ и ₂, то в этом случае при подстановке их в систему уравнений получим бесконечное количество решений. Это множество решений определяет две собственные прямые.

Если характеристическое уравнение имеет два равных корня ₁ = ₂ = , то либо имеется лишь одна собственная прямая, либо, если при подстановке в систему она превращается в систему вида эта система удовлетворяет любым значениям х₁ и х₂. Тогда все векторы будут собственными, и такое преобразование называется преобразованием подобия.

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А= .

Решение.

Запишем линейное преобразование в виде:

Составим характеристическое уравнение:

² - 8 + 7 = 0;

Корни характеристического уравнения: ₁ = 7; ₂ = 1;

Для корня ₁ = 7:

Из системы получается зависимость: x₁ – 2x₂ = 0. Собственные векторы для первого корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; 0,5t) где t- параметр.

Для корня ₂ = 1:

Из системы получается зависимость: x₁ + x₂ = 0. Собственные векторы для второго корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; -t) где t- параметр.

Полученные собственные векторы можно записать в виде