Побудова кодів, які виявляють і виправляють помилки для заданого ансамблю повідомлень телемеханічних систем

9.1 Мета роботи

Вивчення принципів побудови кодів, які виявляють і виправляють помилки для заданого ансамблю повідомлень телемеханічних систем.

9.2 Варіанти завдань

9.2.1 Побудувати превірну матрицю двійкового коду Хеммінга для і з її допомогою закодувати комбінації 0110010 та 1000111 двійкового простого коду. Показати на прикладі виправлення будь-якої однократної помилки в утворених комбінаціях коду Хеммінга та визначити надмірність цього коду.

9.2.2 Побудувати превірну матрицю двійкового коду Хеммінга для і з її допомогою закодувати комбінації 010101010 та 100110111 двійкового простого коду. Показати на прикладі виправлення будь-якої однократної помилки в утворених комбінаціях коду Хеммінга та визначити надмірність цього коду.

9.2.3 Побудувати превірну матрицю двійкового коду Хеммінга для і з її допомогою закодувати комбінації 01110 та 10111 двійкового простого коду. Показати на прикладі виправлення будь-якої однократної помилки в утворених комбінаціях коду Хеммінга та визначити надмірність цього коду.

9.2.4 Закодувати двійковим кодом Хеммінга комбінацію двійкового простого коду та виправити будь-яку однократну помилку, якщо комбінацією простогокоду є запис поточного року в двійковій системі числення.

9.2.5 Знайти твірний поліном двійкового коду БЧХ, здатного виправляти трикратні помилки, для передачі 20 повідомлень у двійковому коді.

9.2.6 Знайти твірний поліном двійкового коду БЧХ, здатного виправляти трикратні помилки, для передачі 30 повідомлень у двійковому коді.

9.2.7 Знайти твірний поліном двійкового коду БЧХ, здатного виправляти трикратні помилки, для передачі 35 повідомлень у двійковому коді.

9.3 Основні теоретичні відомості

9.3.1 Коди Хеммінга

Це одні з найпоширеніших систематичних кодів, що дозволяють виправити помилки.

До кодів Хеммінга належать усі двійкові коди із мінімальною кодовою відстанню, що дозволяє виправляти поодинокі помилки. Формування перевірних елементів у комбінаціях цих кодів виконують за інформаційними елементами. Таким чином, довжина кодової комбінації . Перевірними елементами є лінійні комбінації інформаційних елементів, тобто зважені суми інформаційних елементів з ваговими коеіцієнтами 1 та 0.

Послідовність одиниць і нулів у кодовій комбінації називається ще кодовим вектором. Кодам Хеммінга притаманні властивості лінійних кодів зокрема сума чи різниця векторів лінійного коду дає вектор, що належить цьому коду. Лінійні коди утворюють алгебричну групу відносно операції додавання за модулем 2; мінімальна кодова відстань між векторами групового коду дорвнює мінімальній вазі ненульових кодових векторів.

При передачі кодового вектора може бути спотворений будь-який елемент, кількість таких ситуацій . До цього слід додати ще одну ситуацію, коли помилка не виникає. Таким чином, загальна кількість комбінацій перевірних елементів має перевищувати кількість можливих помилкових ситуацій в коді з урахуванням відсутності помилок для правильного розрізнення їх і визначення місць помилки:

Оскільки , можна записати

,

де – повна кількість комбінацій коду.

Мінімальне співвідношення коректувальних та інформаційних розрядів, нижче якого код не може зберігати задані коректувальні властивості, визначається виразом

(9.1)

9.3.2 Коди Боуза – Чоудхурі – Хоквінгема

Ці коди є різновидом циклічних кодів з кодовою відстанню . Вони дають змогу виявити та виправляти будь-яку кількість помилок. При кодуванні задаються кількістю помилок, яку слід виправити, або мінімальною кодовою відстанню та загальною кількістю елементів у кодовій комбінації. Кількість інформаційних і перевірних елементів визначають при побудові коду Боуза – Чоудхурі – Хоквінгема (БЧХ). Розглянемо деякі правила цієї побудови.

Довжину комбінації кодів БЧХ можна визначити так:

, (9.2)

де – ціле число, – непарне додатнє число, при діленні на яке стає цілим непарним числом. Таким чином, довжина може мати тільки непарну кількість елементів.

Кількість перевірних елементів коду визначається виразом

, (9.3)

А кількість інформаційних елементів – виразом

(9.4)

Твірний поліном коду БЧХ є найменшим спільним кратним (НСК) мінімальних поліномів , де – порядок полінома . Отже, кількість мінімальних поліномів визначається кількість помилок , які виправляються кодом: .

Найбільше значення степеня мінімального полінома є найменшим ціли без остачі, тобто або . Звідси випливає, що .

Степінь твірного полінома залежить від НСК і не перевищує добуток або тому, що . Так, для коду БЧХ завдовжки , що виправляє помилки, кількістьмінімальних поліномів , а найбільший степінь мінімального полінома залежить від довжини коду , тобто . При цьому твірний поліном , де , визначається виразом

,Який після підстановки значень набуває вигляду

Найбільший степінь твірного полінома визначає кількість перевірних елементів у комбінації ( ), а кількість інформаційних елементів . Маємо (15,7) – код БЧХ з .

Кількість помилок, які можуть виправляти коди БЧХ, не обмежена, але із збільшенням кратності помилки значно зростає складність пристроїв декодування, що призводить до зменшення швидкості предачі інформації.

9.4 Порядок виконання робіт циклу

9.4.1 Ознайомитися із метою лабораторної роботи та основними теоретичними відомостями.

9.4.2 Одержати у викладача завдання.

9.4.3 Використовуючи програми Exell або MathCad: виконати завдання.

9.5 Контрольні питання

9.5.1 Які коди відносяться до кодів Хеммінга?

9.5.2 Як визначається склад превірних елементів у двійковому коді Хеммінга?

9.5.3 Чим різняться двійкові коди Хеммінга з кодовими відстанями ?

9.5.4 Як визначається довжина комбінації в двійкових кодах БЧХ?

9.5.5 Як вибирається твірний поліном у двійкових кодах БЧХ?

9.5.7 Що таке мінімальний поліном?

Лабораторна робота №10