7 Нормированное уравнение прямой

Пусть дана прямая l. Проведем через начало координат прямую n, перпендикулярную l. Пусть Р - точка пересечения прямых. Возьмем единичный вектор  .

         Выразим уравнение l через два параметра:

  и  угол  q

         Пусть М(х,у) принадлежит l. Тогда проекция   на ось, определяемую вектором  , равна р, то есть при условии пр_n , так как   единичный вектор, то согласно определению скалярного произведения пр_n ,= . Так как  ,  а вектор  , то скалярное произведение имеет вид .

         Следовательно, точка М принадлежит прямой l означает, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению

    .   Это и есть нормированное уравнение прямой l.

         Пусть теперь имеем общее уравнение прямой l:

                            l: А×х + В×у + С = 0

                            l:        Отсюда t×A = Cosq,   t×B = Sinq,   t×C = -p.

Учитывая, что t2×A2 + t2×В2 = Cos2q + Sin2q = 1 получаем    t2×(A2 + В2) =1   

или       -нормирующий множитель.

Следовательно, чтобы получить из общего уравнения прямой

А×х + В×у + С = 0 нормированное уравнение следует умножить его на нормирующий множитель , знак которого противоположен С

8 Эллипс (определение, координаты фокусов, расстояния от точки до фокусов)

 Эллипс - это геометрическая фигура, которая ограничена кривой, заданной уравнением  .

Он имеет два фокуса. Фокусами называются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина.

 

F₁ , F₂ – фокусы . F₁ = ( c ; 0); F ₂ (- c ; 0)

с – половина расстояния между фокусами;

a – большая полуось;

b – малая полуось.

9 Исследование формы эллипса по его каноническому уравнению

Рассмотрим эллипс, заданный в некоторой прямоугольной декартовой системе координат своим каноническим уравнением

  (1)

Отметим следующие свойства эллипса.

1) Эллипс (1) пересекает каждую из осей координат в двух точках.

Для того чтобы определить координаты точек пересечения эллипса (1) с осью Ох, нужно решить совместно их уравнения:

 , y = 0

Точка пересечения эллипса с осью Ох должна иметь ординату у = 0 и в то же время принадлежать эллипсу. Подставив у = 0  в уравнение эллипса, получим   х  = ± а.

И так, точками пересечения эллипса (1) с осью Ох будут А (а; 0) и С(—а; 0). Аналогично находим точки пересечения эллипса с осью Оу: В(0; b) и D(0; —b) (рис. 109).

Точки А, В, С и D называются вершинами эллипса.

Отрезок АС называется большой осью эллипса, отрезок BD — малой осью.  Фокусы F₁ и F₂ эллипса лежат на большой оси. Длина большой оси, очевидно, равна  2а, малой оси —   2b. Числа а и b называют полуосями эллипса.

2) Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии.

В уравнение (1) переменные х и у входят только во второй степени. Следовательно, если координаты точки  N(x; у)   удовлетворяют уравнению (1), то этому же уравнению также будут удовлетворять и координаты точек N₁(—х ; у) и N₂(x ; —у). Легко видеть, что точка N₁ симметрична точке N относительно оси ординат, точка N₂симметрична точке N относительно оси абсцисс.

Таким образом, эллипс имеет две оси симметрии, они взаимно перпендикулярны. Большая и малая оси эллипса лежат на его осях симметрии. Заметим, что в частном случае, когда а = b, т. е. когда эллипс является окружностью, осью симметрии будет любая прямая, проходящая через центр окружности.

3) Эллипс имеет центр симметрии.

Е сли координаты точки N(x; у) удовлетворяют уравнению (1), то этому же уравнению удовлетворяют и координаты точки К(—х; —у). Точка К, очевидно, симметрична точке N относительно начала координат. Таким образом, эллипс имеет цeнтр симметрии. Центр симметрии эллипса называется центром эллипса.

4) Эллипс может быть получен равномерным сжатием окружности.

Рассмотрим окружность радиуса R = а с центром в начале координат (рис. 110). Пусть Р(Х; У)— произвольная точка этой окружности.

Тогда

        (2)

Точке Р(Х; У) на окружности сопоставим точку Р₁(х; у) такую, что

x= Х   и   y = ^b/_aY.

Точка P₁ получается сдвигом точки Р, при котором абсцисса не изменяется, а ордината уменьшается в отношении ^b/_a.

Координаты   точки P₁ удовлетворяют уравнению эллипса. В самом деле,

Следовательно, точка Pi находится на эллипсе.

Таким образом, эллипс (1) можно получить из   окружности (2) равномерным сжатием к оси ОХ, при котором ординаты точек уменьшаются в одном и том же отношении, равном ^b/_a .

Отсюда следует, что форма эллипса зависит от значения отношения ^b/_a; чем меньше это отношение, тем более сжатым будет эллипс, и, наоборот, чем больше отношение^b/_a  тем эллипс будет менее сжатым, более округлым. При значениях отношения ^b/_a, близких к единице, эллипс будет мало отличаться от окружности. При наибольшем значении отношения  ^b/_a , т. е. при ^b/_a = 1, эллипc превращается в окружность.

В качестве характеристики формы эллипса   удобнее пользоваться не отношением  ^b/_a, а отношением ^c/_a.  Отношение полуфокусного расстояния с к большой полуоси а называетсяэксцентриситетом эллипса.   Эксцентриситет обозначается буквой ε . Таким образом,

ε = ^c/_a

Так как 0 < с < а, то эксцентриситет эллипса удовлетворяет неравенствам

0 < ε < 1.

Выразим эксцентриситет эллипса через отношение ^b/_a полуосей эллипса:

откуда

      (3)

Из полученной формулы видно, что меньшим значениям отношения ^b/_a соответствуют большие значения эксцентриситета. Поэтому чем больше эксцентриситет, тем сильнее сжат эллипс. При малых значениях эксцентриситета эллипс мало отличается от окружности. При ε = 0 эллипс превращается в окружность. Эксцентриситет окружности, таким образом, равен нулю.