3. Задачі лінійного програмування та їх застосування в управлінні сільськогосподарським виробництвом. Загальна задача лінійного програмування.

Загальною формою задачі лінійного програмування є задача на знаходження екстремуму (мінімуму чи максимуму) лінійної цільової функції при лінійній системі обмежень, що включає як рівності, так і нерівності обох знаків, і при невідомих змінних, з яких одні зв’язані умовою невід’ємності, другі – умовою недодатності, а на знак третіх ніяких умов не накладено, тобто задача має вигляд

(3.1)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;

(3.2)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;

(3.3)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;

(3.4)

3.5)

(3.6)

Назвемо групу обмежень (3.3) – (3.4) основними обмеженнями, а групу (3.5) – (3.6) – обмеженнями за знаками змінних. Отже, загальна форма задачі э формою із змішаною системою обмежень на знаки невідомих і змішаною системою основних умов.

Матриця називається матрицею (основних) умов задачі, вектор-колонка де означає операцію транспортування, називається вектором вільних членів (основних умов) задачі, вектор-колонка - вектором невідомих (змінних), вектор-рядок - вектор коефіцієнтів лінійної форми. виділимо ще вектори-колонки, кожна з яких складається з коефіцієнтів при тому самому невідомому в лівих частинах обмежень задачі, назвавши їх векторами (основних) умов задачі. Очевидно, кожен такий вектор є відповідною колонкою матриці умов (основних) задачі де позначена колонка матриці А (аналогічно позначаємо і-й рядок ). Користуючись цими позначеннями, задачу (3.1) – (3.7) можна записати у векторно-матричній формі.

(3.1а)

(3.2а-3.4а)

(3.5а-3.6а)

або у скалярно-векторній формі

(3.1б)

(3.2б-3.4б)

(3.5б-3.6б)

Зауважимо, що умови (3.4) легко звести до виду (3.3), помноживши кожну нерівність на –1; тоді коефіцієнти a_{ij та} вільні члени лише змінять знаки. Аналогічно умови (3.6) зводяться до умов (3.5) множенням на –1 і зміною змінних

(3.8)

Відомо, що обмеження на знак (3.5) є окремим випадком обмежень типу (3.4) при вільному члені і всіх коефіцієнтах, що дорівнюють нулю, крім одного коефіцієнта, який стоїть при даному невідомому і дорівнює одиниці. отже, повний запас загальної задачі лінійного програмування задається виразами (3.1); (3.2); (3.3), причому повинно виконуватись співвідношення . Цей запис загальної задачі буває зручним при теоретичному дослідженні найбільш загальних її властивостей. При формуванні ж задачі математичного програмування в реальній практичній ситуації необхідно представляти її в конкретизованій формі (3.1) – (3.7). Ранг матриці r умов задачі назвемо рангом системи обмежень. Зрозуміло, що матриця умов і її ранг стосуються лише обмежень (3.2) - (3.4), які не включають обмеження змінних по знаку. Якщо об’єднати обмеження (3.3) і (3.6), (3.4) і (3.5), то дістанемо матрицю умов, що містить на s рядків більше, в кожному з яких всі елементи будуть нулями за винятком j-го , що дорівнює одиниці. Відповідними елементами, що дорівнюють нулю, доповниться і вектор вільних членів задачі. Проте ясно, що ранг добутої таким чином матриці може не збігтися з рангом матриці умов (3.2) – (3.4). Розрізнятимемо описані матриці і їхні ранги, ввівши для матриці системи всіх умов задачі, що включають і обмеження на знак змінних, термін повна матриця системи умов і, відповідно, для її рангу – ранг повної системи умов, позначаючи його величину R, а повну матрицю , вектор вільних членів В. Очевидно, при умові . Зрозуміло, що ранг всієї системи обмежень не може бути більшим за число змінних n.

Матричний запис задачі можна дещо скоротити. Це робиться шляхом додавання знаку до матриці умов (чи повної матриці умов) рядка коефіцієнтів лінійної форми, взятих з протилежними знаками і колонки справа, яка містить у нижньому рядку +1, а решта елементів нулі. Добуту матрицю назвемо матрицею задачі, якщо вона випливає з матриці умов задачі, і повною матрицею задачі, якщо вона випливає з матриці умов задачі, і повною матрицею задачі, якщо вона випливає з матриці всіх умов задачі, позначаючи їх відповідно символами та . Додамо також до компонент вектора невідомих змінну , а до компонент вектора вільних членів елемент ; добуті вектори назвемо розширеними векторами невідомих і вільних членів задачі відповідно і позначимо їх через та .

Тоді всю задачу запишемо як одне матричне співвідношення: знайти max чи min z, якщо

, (3.9)

де місця знаків рівності і нерівності зрозумілі з розгорнутого запису задачі (3.1) – (3.7).