1.2.2. Проста модель епідемії

Для того, щоб мати можливість боротися з епідеміями, тобто своєчасно застосовувати ті або інші заходи (карантини, вакцинації і т. п.), необхідно уміти порівнювати ефективність цих заходів. Порівняти ж їх можна тільки в тому випадку, якщо є можливість передбачити, як при тому або іншому заході мінятиметься хід епідемії, тобто як мінятиметься кількість уражених. Звідси виникає необхідність в побудові моделі, яка могла б служити цілям прогнозу. Для простоти ми розглядатиме наслідки найпростішого заходу — нічого не робимо, тобто прогнозуватимемо природний хід епідемії [17].

Зрозуміло, що модель епідемії може включати вплив чинників самих різних рівнів. Так, можна було б врахувати закони, керівники діяльністю бактерійних кліток, ступінь сприйнятливості до інфекції окремих одиниць, коли вони стають джерелом інфекції, імовірність зустрічі носіїв інфекції з ще здоровими одиницями і багато інших чинників. Іншими словами, більш менш повна модель епідемії повинна торкнутися областей, що вивчаються щонайменше трьома науками: мікробіологією, медициною і соціальною психологією.

Оскільки наший метою є лише створення ілюстративної моделі, то тут ми абстрагуємося від дуже багатьох чинників. Проте навіть в такій грубій моделі вдається відтворити зазвичай спостережуване в епідеміях явище — спочатку кількість уражених росте, а починаючи з деякого моменту, вона зменшується.

Отже, хай є N здорових одиниць, і у момент часу t=0 в цю групу потрапляє один уражений (джерело інфекції). Припускатимемо, що ніякого видалення уражених з групи не походить (немає ні одужання, ні загибелі, ні ізоляції). Вважаємо також, що одиниця стає джерелом інфекції відразу ж після того, як вона сама заразиться. Позначимо число джерел інфекції у момент часу t через x(t}, а число тих, що можуть захворіти — через у(t) (очевидно, що x{i)+y(t)=N+1 у будь-який момент часу). При t=0 виконується умова х(0)= 1.

Розглянемо інтервал часу i, t+∆t, де ∆t—малая величина. Скільки нових уражених з'явиться за цей проміжок часу? Можна припустити, що їх кількість буде пропорційна величині ∆t, а також числу зустрічей здорових і хворих, тобто твору величин x(t), у(t), тобто ∆x≈x(t)*y(t)*∆t, де  — коефіцієнт пропорційності. Останнє співвідношення можна переписати так: ∆x≈ax(t)[N+1-x(t)]∆t.

Спрямовуючи ∆t до нуля, отримаємо

Отримане диференціальне рівняння разом з умовою x(0)=1 визначає функцію x(t), тобто кількість уражених у момент часу t. Вирішимо це рівняння. Перш за все для цього введемо нову невідому функцію u(t), пов'язану з функцією x{t} співвідношенням . (Рівняння для цієї нової функції виявиться простішим, а, вирішивши його, ми зуміємо знайти і х(t).)

Оскільки то, диференціюючи цю тотожність, отримаємо . Використовуючи останні два співвідношення, перетворимо диференціальне рівняння до вигляду

Як відомо, загальне вирішення цього рівняння може бути представлене у вигляді суми загального вирішення однорідного рівняння і приватного рішення неоднорідного, тобто

,

де С— довільна постійна.

Звідси

.

Оскільки при t=0 значення x(t}=1, то для визначення величини C маємо рівняння

,

звідки

.

Остаточно

.

Отже, ми знаємо число хворих як функцію часу. Проаналізуємо отриману формулу. Вважаючи t=0, як і слід було чекати, отримуємо x(0)=1. При зростанні t знаменник дробу убуває, тобто x(t) збільшується. Це відповідає нашим уявленням, оскільки, згодне їм, число хворих може тільки збільшуватися.

Цікаво з'ясувати, як міняється швидкість збільшення кількості уражених. Для вирішення цього питання потрібно вивчити величину .

Диференціюючи, отримуємо

Чисельник дробу звертається в нуль при .

Таким чином, коли , величина, а коли, величина .

Отже, функція - швидкість зростання кількості уражених — зростає до моменту , а потім починає зменшуватися.

Цей результат, не дивлячись на грубість моделі, узгоджується з експериментальними даними, оскільки відомо, що на початку епідемії кількість уражених різко зростає, а згодом швидкість розповсюдження інфекції знижується.