1.2. Моделі динаміки біологічних систем

1.2.1. Динаміка популяцій

Одне з питань, яке дуже часто виникає в сучасній екології, полягає в наступному: як визначити чисельність тієї або іншої популяції через певний час? Відповідь на нього представляє не тільки теоретичний інтерес, але і має велике практичне значення. Дійсно, не знаючи цього, не можна правильно планувати експлуатацію різних поновлюваних природних ресурсів - промислових риб, мисливських угідь і тому подібне, розглянемо тут дві прості моделі, на яких проілюструємо підходи до цього питання [17].

Нехай деяка популяція (співтовариство особин одного вигляду) має у момент t0 біомасу x0. Припустимо, що в кожен момент часу швидкість збільшення біомаси пропорційна вже наявній біомасі, а виникаючі явища самоотруєння знижують біомасу пропорційно квадрату наявної біомаси. Якщо позначити біомасу у момент t через x(t), а зміна її за час ∆t через ∆x, то можна записати наступну наближену рівність:

∆x≈(kx-x²)∆t

де  і k — постійні.

У диференціальній формі це ж співвідношення має вигляд:

(3)

Воно і є математичною моделлю процесу зміни біомаси популяцій.

Якщо поставити тепер питання про те, яка ж буде біомаса у момент Т, то для відшукання відповіді на нього можна вказати два шляхи: або дочекатися цього моменту і безпосереднім вимірюванням визначити біомасу (може трапитися, що це завдання фізично нездійсненне, наприклад, як зміряти біомасу популяції риби?), або скористатися математичною моделлю. Природно, ми виберемо останню дорогу. Розділяючи змінні в рівнянні (3) і інтегруючи його за умови x(t0)=x₀, знаходимо наступне рішення:

Звідси вже можна визначити біомасу у момент Т:

На рис. 1.4. приведений графік залежності біомаси від часу.

Рис. 1.4. Залежність біомаси від часу при різних початкових значеннях x₀

Уявимо собі, що ми задалися метою збирати «урожай» з даної популяції, тобто вилучати частину біомаси з екосистеми. Виникає питання: коли і скільки збирати урожаю, щоб сумарний урожай за час (t_0, Т) був би максимальний? Це складніше питання, ніж попередній. Не зупинятимемося на його точному рішенні, а відзначимо тільки, що математична модель також дає можливість на нього відповісти. Якісно результат такий: поки біомаса менше деякого критичного значення, збір урожаю не проводиться зовсім, надалі ж для досягнення максимального сумарного урожаю необхідно вести безперервний збір його.

Ми розглянули вельми спрощену ситуацію, оскільки передбачалося, що популяція не взаємодіє ні з якими іншими популяціями, облік же цієї обставини, звичайно, значно ускладнює модель. Розглянемо одну з таких моделей.

Позначатимемо біомаси двох популяцій через х і у відповідно. Припустимо, що обидві популяції споживають один і той же корм, якого є обмежена кількість, і через це знаходяться в конкурентній боротьбі один з одним.

Рис. 1.5. Популяція x стабілізується, популяція у вимирає: виконується умова

Рис. 1.6. Популяція x стабілізується, популяція у вимирає: виконується умова

Французький математик Вольтерра показав, що при такому припущенні динаміка популяцій досить добре описується наступною системою диференціальних рівнянь:

де k₁, k₂, ₁, ₂, ₁, ₂ - дійсні додатні числа. Перші члени правих частин характеризують швидкості росту популяцій, якби не було б обмежуючих чинників. Другі ж члени враховують ті зміни в швидкостях, які викликаються обмеженістю корму.

Розроблені в теорії диференціальних рівнянь методи дозволяють зобразити графіки, що виражають зв'язок між величинами х і у залежно від конкретних значень коефіцієнтів k₁, k₂, ₁, ₂, ₁, ₂ (мал. 1.5, 1.6). З цих малюнків можна зробити деякі висновки. Зрозуміло, що врешті-решт чисельність однієї з популяцій стає рівною нулю, а чисельність інший стабілізується. Та популяція, у якої відношення k/ менше, гине, інша ж виживає і стабілізується.