5. Теорія графів. Марковські ланцюги.

5.1. Основні елементи теорії графів

Теорія графів — це розділ математики, за допомогою якого розв’язується велика кількість економіко-математичних задач, зокрема планування транспорту, оптимального календарного планування, мережевого та багато етапного планування, про призначення, економного запису, кодування та збереження інформації, забезпечення системного підходу до аналізу та управління економікою тощо. Велике значення має теорія графів і для інших наукових дисциплін, оскільки методи та поняття цієї теорії виявились зручними для дослідження та інтерпретації різноманітних проблем у кібернетиці, в тому числі й економічній, у теорії інформації, теорії ігор, теорії алгоритмів, теорії автоматів тощо. На жаль, нині не існує єдиної термінології в теорії графів. Це обумовлено, передусім, тим, що поняття графа виникало неодноразово, але іноді одночасно в різних сферах наукової діяльності (у математиці, фізиці, хімії, біології, економіці тощо). Наведемо основні означення, якими будемо користуватися надалі [19].

Граф G визначається двома математичними характеристиками:

1. деякою непорожньою множиною V, елементи якої зазвичай називаються вершинами (точками, вузлами, з’єднаннями, 0-сим­плексами або просто елементами);

2. законом, який уможливлює встановлення відповідності Т між кожним елементом множини V та її підмножинами, що не містять даний елемент. Для окремого елемента v  V таку відповідність будемо позначати Т_v. Другою характеристикою часто вважають множину Х усіх невпорядкованих пар різних вершин із множини V (відповідностей). Кожну пару вершин в Х називають ребром (лінією, дугою, гілкою, 1-симплексом, елементом) графа і позначають х = {u, v}. Зауважимо, що обидва формулювання другої характеристики є ідентичними.

Кажуть, що ребро х з’єднує вершини u та v. Це записують як x = uv, а вершини u та v називають суміжними (інколи це позначають так: u adj v). Вершину u та ребро х називають інцидентними, так само, як і v та х. Якщо два різні ребра x та y інцидентні одній вершині, то вони називаються суміжними. Граф з n вершинами та m ребрами будемо називати (n, m)-графом. (1,0)-граф називається тривіальним.

Якщо кількість вершин графа (елементів множини V) є скінченною, то граф називають скінченним. Надалі будемо розглядати лише скінченні графи.

Як правило, граф зображується діаграмою, і саме її часто називають графом. Наприклад, у графа G на рис. 1 вершини u та v суміжні, а вершини u та w — ні; ребра x та y суміжні, а x та z — ні. На діаграмі ребра x та z перетинаються, але їх точка перетину не є вершиною графа.

Рис. 5.1. Граф, що ілюструє поняття суміжності

Існує очевидний взаємозв’язок між графами та відношеннями на множині. Інколи навіть кажуть, що графи — це лише графічне зображення таких відношень. Але це не правильно, що передусім, зумовлено «відправними пунктами» цих понять. Для відношень на множинах основним поняттям є множина, а для теорії графів, швидше, саме відношення між елементами множини.

Існує кілька типів графів, які є сенс навести. Зауважимо, що з наведеного нами означення випливає, що граф не може мати петель, тобто ребер, які з’єднують вершини самі з собою. В мультиграфі не допускаються петлі, але пари вершин можуть з’єднуватись кількома ребрами; ці ребра називаються кратними. Якщо допускаються петлі та кратні ребра, то отримують псевдограф.

На рис. 5.2 наведено мультиграф та псевдограф, за основу яких взято один і той же граф — трикутник.

Рис. 5.2. Мультиграф та псевдограф

Граф називається поміченим (або перенумерованим), якщо його вершини відрізняються одна від іншої деякими помітками, наприклад v₁, v₂,…, v_n. На рис. 3 графи G₁ та G₂ помічені, а граф G₃ не помічений.

Два графи G та H ізоморфні (записується G  H або інколи G = H), якщо між їх множинами вершин існує взаємно однозначна відповідність, що зберігає суміжність. Наприклад, на рис. 5.3 зображені три попарно ізоморфні графи. Абсолютно очевидно, що ізоморфізм є відношенням еквівалентності.

Рис. 5.3. Помічені, не помічений та ізоморфні графи

При вилученні ребер з графа G отримуємо частковий граф G₁ графа G, при вилученні вершин та інцидентних їм ребер — підграф G₂, графа G, а при наступному вилученні дуг з підграфа G₂ графа G — частковий підграф G₃ графа G.

Одна з найпростіших властивостей, яку може мати граф, — це властивість зв’язності. Розглянемо далі деякі основні структурні властивості зв’язних та незв’язних графів.

Маршрутом називається послідовність вершин та ребер, які попарно чергуються. Наприклад, на рис. 5.3 можна виділити такий один із можливих маршрутів: v₁, v₁v₄, v₄, v₄v₃, v₃, v₃v₅, v₅. Послідовність починається і закінчується вершиною, і кожне ребро інцидентне двом вершинам, одна з яких йде безпосередньо перед ним, а друга — за ним. Наведений у прикладі маршут з’єднує вершини скорочено так: v₁ та v₅, і його можна позначити v₁, v₄, v₃, v₅ (наявність ребер мається на увазі). Маршрут, який починається і закінчується в одній і тій же вершині називається замкненим, а в іншому разі — відкритим. Наведений приклад маршруту є відкритим. Маршрут називається ланцюгом (trail), якщо всі його ребра різні, простим ланцюгом (path), якщо всі вершини (і відповідно ребра) різні. Замкнений ланцюг називається циклом. Замкнений маршрут називається простим циклом, якщо всі його n вершин різні і n  3.

Наприклад, у поміченому графі G₁ на рис. 3 v₁, v₄, v₂, v₄, v₃ — маршрут, що не є ланцюгом; v₁, v₄, v₂, v₅, v₁, v₆ — ланцюг, але не простий; v₁, v₄, v₂, v₆ — простий ланцюг та v₁, v₄, v₂, v₅, v₁ — простий цикл.

Граф G називається зв’язним, якщо будь-яка пара його вершин з’єднана простим ланцюгом. Максимальний зв’язний підграф графа G називається компонентою зв’язності, або просто компонентою графа G. Отже, незв’язний граф має щонайменше дві компоненти.

Довжина маршруту дорівнює кількості ребер у ньому (причому кожне ребро вказується стільки разів, скільки воно зустрічається в даному маршруті). Відстанню d(u, v) між двома вершинами u та v графа G називається довжина найкоротшого простого ланцюга, який з’єднує їх; якщо u та v не з’єднані, то вважають, що відстань нескінченна. У зв’язному графі відстань є метрикою, тобто задовольняє такі аксіоми (аксіоми метрики) для будь-яких трьох вершин u, v, w:

1. d(u, v) > 0 і d(u, v) = 0 тоді і лише тоді, якщо u = v;

2. d(u, v) = d(v,u);

3. d(u, v) + d(v, w)  d(u, w).

Найкоротший простий (u – v)-ланцюг часто називається геодезичною. Діаметр d(G) зв’язного графа G — це довжина самої довгої геодезичної.

Скінченний зв’язний граф, що складається з не менш ніж двох вершин та не має циклів, називається деревом. Детальніше дерева будуть розглянуті далі.

Граф називається повним, якщо будь-яка пара його вершин зв’язана з хоча б одним ребром. Якщо кожній парі вершин графа інцидентне одне, і тільки одне ребро та відсутні петлі, то при n вершинах кількість ребер m можна обчислити за формулою:

m = n(n – 1) : 2.

Досі ми розглядали неорієнтовані графи, вершини яких з’єднані ненаправленими відрізками — ребрами. Якщо пари вершин упорядковані, тобто відмінність між початковою і кінцевою вершинами ребра є істотною, то такі ребра називають дугами, а відповідний граф — орієнтованим. Взагалі, орієнтований граф, або орграф, D складається зі скінченної непорожньої множини V вершин та заданого набору X упорядкованих пар різних вершин. Елементи Х називаються орієнтованими ребрами, або дугами. За означенням в орграфі немає петель та кратних дуг. Направлений граф — це граф, який не має симетричних пар орієнтованих ребер, тобто дуг виду {u, v} та {v, u}.

В орграфі (орієнтованим) маршрутом називається послідовність вершин та дуг, що чергуються v₀, x₁, v₁,... x_n, v_n, де x_i = v_i–1v_i. В замкненому маршруті перша і остання вершини збігаються. Остовний маршрут містить усі вершини. Шлях — це маршрут, в якому всі вершини різні, контур — нетривіальний замкнений маршрут, у якого всі вершини різні (за винятком першої та останньої). Якщо існує шлях із вершини u у вершину v, то кажуть, що v досяжна з u; відстанню d(u, v) від u до v називається довжина такого найкоротшого шляху.

Кожен маршрут орієнтований від першої вершини v₀ до останньої v_n. Напівмаршрут — це теж послідовність вершин та дуг, що чергуються: v₀, x₁, v₁,..., x_n, v_n, але дугою x_i може бути як v_i–1v_i, так і v_iv_i–1. Напівшлях, напівконтур та інші поняття визначаються аналогічно.

Як зазначалось раніше, граф може бути зв’язним або ні. Для орграфа існує три способи визначення зв’язності. Орграф називається сильно зв’язним (або сильним), якщо будь-які дві його вершини взаємно досяжні; односторонньо зв’язним (або одностороннім) — якщо для будь-яких двох вершин хоча б одна досяжна з іншої; слабко зв’язним (або слабим), якщо будь-які дві вершини з’єднані напівшляхом. Очевидно, що кожен сильний орграф — односторонній, а кожен односторонній — слабкий, але обернені твердження неправильні. Орграф називається незв’язним, якщо він навіть не слабкий. Зауважимо, що тривіальний орграф, тобто орграф, що складається з однієї вершини, є (за означенням) сильним, оскільки в ньому немає різних вершин.

Дуже важливе значення в теорії і в практичному застосуванні науки про графи є поняття мережі. Скінченний односторонній орієнтований граф називається мережею, якщо:

а) орграф містить дві, і тільки дві, такі вершини, одна з яких не має вхідних дуг, а інша — вихідних. Перша, початкова вершина такого графа називається джерелом, а друга, кінцева — стоком;

б) кожній дузі графа ставиться у відповідність деяке невід’ємне число, яке називається пропускною здатністю.

Якщо всі пропускні здатності є цілими числами, мережу можна легко перетворити в орієнтований мультиграф.