4.3. Теорема про мінімакс (максимін)

Справедлива така важлива у теорії ігор теорема (Неймана):

Теорема 4.5. Будь-яка матрична гра двох партнерів з нульовою сі/мою має розв'язок (р*,q*). Причому для довільних змішаних стратегій (p,q) і оптимальних стратегій (р*,q*) справедливі співвідношення

(4.30)

З останньої рівності випливає очевидне співвідношення

`(4.31)

Доведення. Внаслідок еквівалентності означеної гри парі подвійних задач лінійного програмування (4.16)—(4.19),(4.25)—(4.27) і першої теореми подвійності для доведення теореми досить показати, що хоч одна з цих задач має розв'язок.

Справді, нагадаємо, що коли одна з подвійних задач, наприклад задача (4.16)—(4.19), має розв'язок Y* (у*₁,...,y*_m), то, згідно з основною теоремою подвійності, і друга має розв'язок х*(х*₁,...,х*_n), причому

(4.32)

Тоді оптимальні змішані стратегії обох гравців визначаються з формул (4.24) і (4.16), які слід переписати так:

(4.33)

(4.34)

де a(р*,q*)—ціна гри, що містить невід'ємний доданок і визначається за формулою

(4.35)

Рівність (4.32) рівнозначна рівності (4.30). Справді,

(4.36)

Отже,

звідки

що рівнозначно (4.30);(див.(4.8)).

Для доведення існування розв'язку задачі (4.16)—(4.19) досить показати сумісність системи обмеження (4.16),(4.17) і обмеженість знизу лінійної форми (4.19) на множині планів, які визначаються розв'язками згаданої системи обмежень. Проте легко побачити, що обидві ці умови виконуються для задачі (4.16) — (4.19).

Справді, система умов (4.16),(4.17) має очевидний розв'язок якщо вважати всі a_ij>1, що досягається зміною ціни гри на досить велике .

Обмеженість знизу лінійної форми випливає з прийнятої умови обмеженості знизу (невід'ємності) величини а(р,q*), що дає умову (4.18). Отже, теорему доведено повністю.

Теорема про мінімакс має геометричну інтерпретацію. Розглянемо гіперповерхню функції в (т+п+1)-вимірному просторі. Розглядувана функція є білінійною формою, означеною на множині невід'ємних змінних. Теорема про мінімакс рівносильна твердженню, що зазначена гіперповерхня має при і сідлову точку, тобто таку точку (р*q*), у деякому окопі якої для всіх р і q справджуються співвідношення (4.31):

Ця сідлова точка і є розв'язком матричної гри з нульовою сумою. Для наочності можна використати прийом умовного зображення (т+n+1)-вимірного простору у вигляді тривимірного, позначаючи точками осі абсцис змішані стратегії першого гравця, точками осі ординат — змішані стратегії другого гравця і відкладаючи на осі аплікат значення величини а. Тоді можна дістати рис. 4.2, що відповідає зазначеній геометричній інтерпретації.

Рис.4.2. Геометрична інтерпретація сідлової точки

4.4. Зведення задач лінійного програмування до симетричної матричної гри з нульовою сумою

Розглянемо питання про можливість зведення деякої задачі лінійного програмування до матричної гри з нульовою сумою, що є оберненою операцією до розглянутого в § 2 зведення такої гри до пари подвійних задач. Виявляється, що це можна зробити, якщо задача буде самоспряженою, а матрична гра—симетричною.

п.1. Розглянемо деякі властивості симетричних ігор. Симетричною називається гра, яка має кососиметричну платіжну матрицю, тобто матрицю, для всіх елементів якої справедливе співвідношення

(4.37)

Теорема 4.6. Ціна симетричної гри дорівнює нулю, а оптимальні стратегії обох гравців однакові.

Нехай р*,q*—оптимальні змішані стратегії гравців, с=а(р*,q*)—ціна гри. Для р* і довільної q маємо нерівність

Покладаючи q=р* і враховуючи, що при

дістаємо:

Аналогічно

Отже, ціна гри с=0 і досягається при однакових змішаних стратегіях обох гравців р*=q*.

п.2. Розглянемо пару спряжених задач лінійного програмування, записаних для зручності у векторно-матричній симетричній формі:

(4.38)

Як відомо (п. 2 § 7 розд. 5), їм еквівалентною буде така самоспряжена задача:

(4.39)

Запишемо також систему нерівностей, еквівалентну самоспряженій задачі (4.39), а отже, і подвійним задачам (4.38):

(4.40)

Розглянемо тепер симетричну гру з кососиметричною матрицею, елементами якої є коефіцієнти та вільні члени системи нерівностей (4.40), без умов невід'ємності змінних, а саме:

(4.41)

Позначимо змішані стратегії, однакові для обох гравців, вектором (u,v,t), де u — векторна компонента, що відповідає першому рядку і першій колонці блочної матриці S (тобто m першим рядкам і m першим колонкам цієї матриці, записаної в розгорнутому скалярному виді);v—векторна компонента, що відповідає другому рядку і другій колонці S;t—скаляр, що відповідає третьому рядку і третій колонці цієї матриці. При цьому, звичайно, має місце рівність

Оскільки ціна симетричної гри дорівнює нулю, то для змішаної стратегії першого гравця (u,0,0), яка може бути не оптимальною, і для оптимальної стратегії другого гравця (u,v,t) повинна виконуватись нерівність

(4.42)

Так само при чистій векторній стратегії (в тому розумінні, що ) першого гравця (0,v,t) і оптимальній стратегії другого маємо

(4.43)

і, нарешті, при виборі першим гравцем чистої стратегії (0,0,t), a другим оптимальної стратегії (u,v,t) дістаємо нерівність

(4.44)

Однак очевидно, що нерівності (4.42)—(4.44) при t>0 еквівалентні системі нерівностей (4.40), де . Таким чином, доведено таку теорему.

Теорема 4.7. Пара подвійних задач (а отже, еквівалентна їм самоспряжена задача) лінійного програмування еквівалентна одноходовій симетричній грі двох гравців з нульовою сумою, матриця якої додержується з коефіцієнтів та вільних членів цих задач.