МІНІСТЕРСТВО АГРАРНОЇ ПОЛІТИКИ ТА ПРОДОВОЛЬСТВА УКРАЇНИ
СУМСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ АГРАРНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
МОДЕЛЮВАННЯ В АПК
Частина 2. Моделювання технологічних процесів
і систем
Навчальний посібник
Суми
2012
МІНІСТЕРСТВО АГРАРНОЇ ПОЛІТИКИ та продовольства УКРАЇНИ
СУМСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ АГРАРНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
Кафедра кібернетики та інформатики
МОДЕЛЮВАННЯ В АПК
Частина 2. Моделювання технологічних процесів
і систем
Навчальний посібник
для студентів 5 курсу напряму підготовки 6.090101
“Агрономія”
денної та заочної форм навчання
Суми
2012
УДК 681.3: 519.6(073)
Укладач: В’юненко О.Б., доцент кафедри кібернетики та інформатики СНАУ
Моделювання в АПК. Частина 2. Моделювання технологічних процесів і систем. Навчальний посібник для студентів 5 курсу напряму підготовки 6.090101 “Агрономія” денної та заочної форм навчання / Суми, 2012 рік, 191 с., табл.10, рис. 28, бібл. 32.
Навчальний посібник призначений для надання методичної допомоги студентам під час вивчення теми курсу “Моделювання технологічних процесів і систем”, а також виконання студентами практичних робіт. Посібник містить загальні теоретичні питання, методичні рекомендації, варіанти та приклади виконання задач.
Рецензенти:
|
Ободяк В.К. к.т.н., доцент кафедри комп’ютерних наук Сумського державного університету |
|
Герасименко В.О., к.фіз.-мат.н., доцент кафедри вищої математики Сумського національного аграрного університету |
Відповідальний за випуск: Смоляров Г.А., доцент кафедри кібернетики та інформатики СНАУ
Розглянуто навчально-методичною комісією інституту економіки та менеджменту
Протокол №5 від 10.05.12 р.
Рекомендовано до видання методичною радою Сумського національного аграрного університету. Протокол № __ від “___” _________ 2012 року.
Сумський національний аграрний університет, 2012
Зміст
стор.
Передмова.
Основні поняття теорії моделювання 3
1. Теоретичні основи оптимізації виробничих процесів і систем 12
1.1. Модульна структура комплексної моделі оптимізації виробничої діяльності підприємства 17
1.2. Моделі динаміки біологічних систем 26
1.2.1. Динаміка популяцій 26
1.2.2. Проста модель епідемії 30
2. Основні задачі статистичного моделювання 33
2.1. Загальне поняття про лінійну регресію 33
2.2. Оцінка параметрів лінійної регресії за допомогою методу найменших квадратів 34
2.3. Властивості простої вибіркової лінійної регресії 39
2.4. Коефіцієнти кореляції та детермінації 41
2.4.1. Поняття про коефіцієнт кореляції 41
2.4.2. Декомпозиція дисперсій. Поняття про коефіцієнт детермінації 42
2.4.3. Зв'язок між коефіцієнтом кореляції та нахилом b1 45
2.4.4. Зв'язок між коефіцієнтом кореляції (г) і коефіцієнтом детермінації (R2) 46
2.4.5. Перевірка простої регресійної моделі на адекватність.
Поняття F-крітерію Фішера. 48
3. Задачі лінійного програмування та їх застосування в управлінні сільськогосподарським виробництвом 51
3.1. Лінійні економіко-математичні моделі в сільськогосподарському виробництві 82
4. Теорія ігор і лінійне програмування 109
4.1. Основні поняття теорії матричних ігор 109
4.2. Еквівалентність матричної гри пар і задач лінійного програмування 122
4.3. Теорема про мінімакс (максимін) 126
4.4. Зведення задач лінійного програмування до симетричної матричної гри з нульовою сумою 128
5. Теорія графів. Марковські ланцюги. 131
5.1. Основні елементи теорії графів 131
5.2. Марковські ланцюги 137
6. Поняття про експертні системи 142
6.1. Експертні системи 142
6.2. Штучний інтелект 150
6.3. Інтелектуальні інформаційні системи 155
6.4. Інформаційні технології в агроекономіці 160
6. Термінологічний словник 178
Література 184
Для забезпечення розвитку та інтенсифікації сільського господарства необхідно широко впроваджувати сучасні досягнення науки і техніки. З метою обґрунтованого та швидкого прийняття оптимальних рішень, фахівці в галузі сільського господарства мають володіти сучасними методами моделювання технологічних процесів та виконувати достатньо складні розрахункові роботи, які без застосування обчислювальних засобів реалізувати важко.
Навчальний посібник підготовлено відповідно до програми курсу «Моделювання технологічних процесів і систем», посібник розрахований на студентів, які навчаються за програмами підготовки магістрів технологічних фахових спрямувань (додаток 1). При підготовці посібника використано матеріал робіт, присвячених проблемам побудови систем оптимізації технологічних процесів, робота не ставила за мету викладання власних наукових результатів, навчальний посібник створений, виходячи з актуальності питань електронної комерції та великої проблеми самостійного опанування матеріалом через нестачу літератури, на базі існуючих напрацювань [6-8, 12, 13, 16-21].
Передмова Основні поняття теорії моделювання
Щоб порівняти між собою різні стратегії проведення операції (або розв'язку), необхідно отримати для них очікування значення показника ефективності. Для цього, в свою чергу, корисно мати математичну модель досліджуємої операції. Таким чином, основна проблема існує тому, де її взяти. Звичайно, можна попросити у знайомих або у родичів, але навряд чи є в них те що саме вам потрібно. В любому випадку краще всього розраховувати на власні сили, вірніше - на власні знання і досвід. І якщо досвід приходить тільки з часом, то відповідні знання можна отримати прямо зараз [16].
Начнемо з того, що розглянемо принципи моделювання, в стиснутій формі відображаючи той достатньо багатий досвід, який накопичений до цього часу в області розробки та використання математичних моделей.
Принцип інформаційної достатності. При повній відсутності інформації про досліджувану систему побудова її моделі неможлива. При наявності повної інформації про систему моделювання немає змісту. Існує деякий критичний рівень апріорних відомостей про систему ( рівень інформаційної достатності), при досягненні якого може бути побудована її адекватна модель.
Принцип здійсненності. Модель, що створюється повинна забезпечувати досягнення поставленої мети дослідження з вірогідністю, суттєво відрізняється від нуля, і за деякий час. Звичайно задають деяке порогові значення Р0 вірогідності досягнення мети моделювання Р(t), а також прийнятну межу t0 часу досягнення цієї мети. Модель вважають здійсненною, якщо одночасно виконані дві нерівності:
Принцип множинності моделей. Даний принцип, незважаючи на його порядковий номер, є ключовим. Мова йде про те, що створювана модель повинна відображати в першу чергу властивості реальної системи (або явища), які впливають на вибраний показник ефективності. Відповідно при використанні любої конкретної моделі позначаються лише деякі сторони реальності. Для більш повного її використання необхідна модель, яка дозволяє з різних сторін і з різним степенем детальності відображати процес, який розглядається.
Принцип агрегатування. В більшості випадків складну систему можна представити з агрегатів (підсистем), для адекватного математичного описування яких виявляються непридатними деякі стандартні математичні схеми. Принцип агрегатування дозволяє, окрім того, достатньо гнучко перебудовувати модель в залежності від задач дослідження.
Принцип параметризації. В раді випадків система, що моделюється,, має в своєму складі відносно ізольовані підсистеми, що характеризуються певним параметром, в тому числі векторним. Такі підсистеми можна заміняти в моделі відповідними числовими величинами, а не змальовувати процес їх функціонування. При необхідності залежність значень цих величин від ситуації може задаватися у вигляді таблиці, графіку або аналітичного вираження (формули). Принцип параметризації дозволяє скоротити об'єм та тривалість моделювання. Однак потрібно мати на увазі, що параметризація знижує адекватність моделі.
Ступінь реалізації перерахованих принципів в кожній конкретній моделі може бути різноманітною, причому це залежить не тільки від бажання розробника, а й від дотримання ним технології моделювання. А люба технологія передбачає наявність визначеної послідовності дій.
Слово "комп'ютер" поки що в нашому дослідженні не використовувалось. Але рано чи пізно воно повинно з'явитися. Почнемо з словосполучення "комп'ютерне моделювання", яке найчастіше використовується у відповідній літературі. Саме по собі поняття досить широке, і кожен автор трактує його по своєму. Зустрічаються, наприклад, такі вирази: "комп'ютерне моделювання верхнього одягу", "комп'ютерне моделювання зачісок" та ін. В зв'язку з цим є необхідність уточнять, що ми будемо розуміти під цим терміном. Отже, в даному випадку комп'ютерне моделювання - це математичне моделювання з використанням засобів обчислювальної техніки. Відповідно, технологія комп'ютерного моделювання передбачає виконання таких дій:
визначення мети моделювання;
розробка концептуальної моделі;
формалізація моделі;
програмна реалізація моделі;
планування модельних експериментів;
реалізація плану експерименту;
аналіз та інтерпретація результатів моделювання.
Зміст перших двох етапів практично не залежить від математичного метода, покладеного в основу моделювання (і навіть навпаки - їх результат визначає вибір методу). А ось реалізація інших шести етапів суттєво різниться для кожного з двох основних підходів до побудови моделі. Іменуються ці підходи в різних книгах по-різному, ми використовуємо для їх позначення терміни "аналітичне" і "імітаційне" моделювання.
Аналітичне моделювання передбачає використання математичної моделі реального об'єкту в формі алгебраїчних, диференціальних, інтегральних та інших рівнянь, які зв'язують кінцеві перемінні з вхідними, доповнених системою обмежень. При цьому передбачається наявність однозначної обчислювальної процедури отримання поточного рішення рівнянь.
При імітаційному моделюванні математична модель відтворює логіку ("алгоритм") функціонування досліджуваної системи в часі при різних поєднаннях значень параметрів системи та зовнішнього середовища.
Прикладом простішої аналітичної моделі може служити уже згадане рівняння прямолінійного рівномірного руху. При дослідженні такого процесу з допомогою імітаційної моделі повинно бути реалізоване спостереження за зміною пройденого шляху з плином часу.
Очевидно, в одних випадках більш прийнятним є аналітичне моделювання, в інших - імітаційне (або поєднання того й іншого). Щоб вибір був вдалим, необхідно відповісти на два запитання:
з якою метою проводиться моделювання;
до якого класу може бути віднесене явище, яке моделюється.
Відповіді на два питання можуть бути отримані в процесі виконання двох перших етапів моделювання.
Загальна мета моделювання в процесі прийняття рішення була сформульована вище - це визначення (розрахунок) значень вибраного показника ефективності для різних стратегій проведення операції (або варіантів реалізації системи, яка моделюється). При розробці конкретної моделі мета моделювання повинна уточняться з урахуванням критерію ефективності, який використовується. Для критерію придатності модель, як правило, повинна забезпечити розрахунок значень ПЕ для всієї множини допустимих стратегій. При використанні критерію оптимальності модель повинна дозволити безпосередньо визначати параметри об'єкта, що досліджується, які дають екстремальне значення ПЕ.
Таким чином, мета моделювання визначається як метою операції, що досліджується, так і планування методом використання результатів дослідження.
Наприклад, проблемна ситуація, що вимагає прийняття рішень, формулюється таким чином: знайти варіант побудови обчислювальної мережі, який володів би мінімальною вартістю при дотриманні вимог по продуктивності та по надійності. В цьому випадку метою моделювання є відшукання параметрів мережі, які забезпечують мінімальне значення ПЕ, в якості якого виступає вартість.
Задача може бути сформульована інакше: з декількох варіантів конфігурації обчислювальної мережі вибрати найбільш надійний. Тут в якості ПЕ вибирається один з показників надійності (середній наробіток на відказ, вірогідність безвідказної роботи та ін.), а метою моделювання є порівнювальна оцінка варіантів мережі по цьому показнику.
Наведені приклади дозволяють показувати, що сам на себе вибір показника ефективності ще не визначає "архітектуру" майбутньої моделі, оскільки на цьому етапі не сформульована її концепція, або, як говорять, не визначена концептуальна модель системи, яка шукається.
Концептуальна модель (змістовна) - це абстрактна модель, що визначє структуру системи, яка моделюється, якості її елементів та причинно-досліджувані зв'язки, притаманні мережі і суттєві для досягнення мети моделювання.
Побудова концептуальної моделі включає такі етапи:
визначення типу системи;
змалювання робочої навантаження;
декомпозицію системи.
На першому етапі здійснюється збір фактичних даних (на основі роботи з літературою і технічною документацією, проведення натуральних експериментів, збору експертної інформації та ін), а також висунення гіпотез відносно значень параметрів і змінних, для яких відсутня можливість отримання фактичних даних. Якщо отримані результати відповідають принципам інформаційної достовірності та здійсненності, то вони можуть служити основою для віднесення моделюємої системи до одного з відомих типів (класів).
Найбільш важливі в цьому відношенні класифікаційні признаки наведені нижче.
Одним з них є потужність множин станів моделюємої системи. По цьому признаку системи поділяють на статистичні і динамічні. Система називається статистичною, якщо множина її станів містить один елемент. Якщо станів більше одного, і вони можуть змінюватись в часі, система називається динамічною.
Розрізняють два основних типи динамічних систем:
з дискретними станами (множина станів кінцева і скінченна);
з безперервною множиною станів.
Можливі змішані випадки.
Процес зміни станів називається рухом системи.
Зміна станів може відбуватися або в фіксовані моменти часу, множина яких дискретна і заздалегідь визначена (наприклад, прибуття нових партій товару на склад), або безперервно (зміна курсів валют в ході торгів). При цьому розрізняють детерміновані системи і стохастичні. В детермінованих системах новий стан залежить тільки від часу та поточного стану системи. Іншими словами, якщо змінюється умови, визначаючі системи в новий стан, то для детермінованої системи можна однозначно вказати, в який стан вона перейде.
Для стохастичної системи можна вказати лише множину можливих станів переходу, і в деяких випадках, вірогідність переходу в кожен з цих станів.
Розглянута схема класифікації систем важна не сама по собі. На етапі розробки концептуальної моделі вона, по-перше, дозволяє конкретизувати мету та задачі моделювання, і по-друге, полегшує перехід до етапу формалізації моделі. Окрім того, значно пізніше, на етапі оцінки якості розробленої моделі, знання класифікаційних ознак дає можливість оцінити ступінь її відповідності первинному задуму розробника.
Необхідно відмітити, що розглянуті класифікаційні ознаки примінимо і для визначення типу розроблюваної моделі. При цьому досліджуєма система і її модель можуть відноситися як до одного, так і до різних класів. Наприклад, на реальна система, яка підвержена дії випадкових факторів, і відповідно, буде відноситися до класу стохастичних систем. Якщо розробник моделі вважає, що впливом факторів можна знехтувати, то модель буде представляти собою детерміновану систему. Аналогічним образом можливо відображення системи з неперервним часом зміни станів в модель з дискретними переходами та ін. Зрозуміло, приналежність реальної системи і її моделі до одного класу говорить про корекцію моделі, однак з точки зору інтересів дослідження таке "дзеркальне відображення" далеко не завжди є корисним (пригадайте принцип множинності моделей). Детально це питання буде розглянуте при обговоренні етапу декомпозиції системи.
При дослідженні ефективності операції дуже важливе значення відіграє коректне змалювання умов її протікання. Як правило, воно представляє собою перелік та характеристики зовнішніх факторів, що впливають на виконавчу систему, що використовується ЛПР для досягнення мети операції. Якщо при порівнянні різних стратегій інші види матеріальних ресурсів не розглядаються, то задача дослідження ефективності операції може бути сформульована як задача оцінки ефективності виконавчої підсистеми (саме в цьому змісті поряд з поняттям "ефективність операції" використовувалось поняття "ефективність системи"). В цьому випадку замість умов проведення операції зручніше розглядати робоче навантаження відповідної системи.
Отже, робоче навантаження - це сукупність зовнішніх впливів, що впливають на ефективність застосування даної системи в рамках проведеної операції.
Описання робочого навантаження є не тільки важливою, але й достатньо складною задачею. Особливо в тих випадках, коли доводиться враховувати вплив випадкових факторів, або коли мова йде про робоче навантаження проектуємої принципово нової системи. В зв'язку з цим багато авторів вводять поняття моделі робочого навантаження, підкреслюючи рівень складності змалювання системи і її робочого навантаження.
Модель робочого навантаження (РН) повинна мати властивості:
сумісність з моделлю системи;
показністю;
керованістю;
системною незалежністю.
Якість сумісності передбачає, по-перше, ступінь деталізації змалювання РП відповідає деталізації змалювання системи; по-друге, модель РП повинна буде сформульована в тих же категоріях предметної області, що й модель системи. Наприклад, якщо в моделі системи досліджується використання ресурсів системи. Наприклад, якщо в моделі системи досліджується використання ресурсів, то РН повинна бути виражена в запитах на ресурси;
Показність моделі РН визначається її властивістю адекватно представити РН у відповідності з метою дослідження. Іншими словами, модель РН повинна відповідати меті основного дослідження системи. Наприклад, якщо оцінюється пропускна властивість, повинна вибиратись РН, "насичуюча" систему.
Під керованістю розуміється можливість змін параметрів моделі РН в деякому діапазоні, визначеному метою дослідження.
Системна незалежність - це можливість переносу моделі РН з однієї системи на іншу із збереженням її показності. Дана властивість найбільш важлива при розв'язанні задач порівняння різних систем або різних модифікацій однієї системи. Якщо модель РН залежить від конфігурації системи, що досліджується або інших її параметрів, то використання такої моделі для розв'язання задачі вибору неможливе. І нарешті, звернемось до етапу, який завершує побудову концептуальної моделі системи - її декомпозиції.
Декомпозиція системи проводиться виходячи з вибраного рівня деталізації моделі, який, в свою чергу визначається трьома факторами:
метою моделювання;
об'ємом апріорної інформації про систему;
вимоги до точності та достовірності результатів моделювання.
Рівень деталізації іноді називають стратами, а процес виділення рівнів - стратифікацією.
Деталізація системи повинна проводитись до такого рівня, щоб для кожного елементу були відомі або могли бути отримані залежності його вихідних характеристик від вхідних впливів, суттєві з точки зору вибраного показника ефективності.
Підвищений рівень деталізації змалювання системи дозволяє отримати більш точну її модель, але ускладнює процес моделювання і веде до зростання затрат часу на його проведення.
Наприклад, якщо моделюється дискретна система, то більш детальне її змалювання означає збільшення числа різноманітних станів системи, врахованих в моделі, і як наслідок - зростання об'єму обчислень.
Тому при виборі рівня описання системи доцільно керуватися таким правилом: в модель повинні ввійти всі параметри, які забезпечують визначення характеристик, що цікавлять дослідника на заданому часовому інтервалі її функціонування; інші параметри по можливості потрібно видалити з моделі.
При імітаційному моделюванні для оцінки вибраного рівня деталізації можна використовувати спеціальні критерії.
Перший із них - відношення реального часу функціонування системи до часу моделювання (тобто затратам машинного часу, необхідного на проведення модельного експерименту). Наприклад, якщо при одних і тих же підходах до проблемної реалізації моделі моделювання одного часу роботи системи потребує в одному випадку 3 хвилини машинного часу, а в другому - 10 хвилин, то в другому випадку ступінь деталізації змалювання вище (співвідношення 3:10).
Другий критерій - дозволяюча властивість моделі, в тому числі:
дозволяюча властивість по часу - може бути визначена як найкоротший інтервал модельного часу між сусідніми подіями;
дозволяюча властивість по інформації - найменша ідентифікаційна порція інформації, представлена в моделі (для визначення систем, наприклад, такими порціями можуть бути слово, сторінка, програма, завдання).
Третій критерій - число різноманітних моделюємих станів системи (або типів подій).
Для тих компонентів, відносно яких відомо або передбачається, що вони сильніше впливають на точність результатів, ступінь детальності може бути вищим за інші.
Необхідно відмітити, що із збільшенням детальності зростає стійкість моделі, але зростають і затрати машинного часу на проведення модельного експерименту.