2.2. Економіко-математична модель оптимізації розподілу мінеральних добрив

Завдання. Потрібно розрахувати оптимальний план розподілу мінеральних добрив в господарстві під посіви продовольчих культур. Початкова інформація, необхідна для складання економіко-математичної моделі приведена в табл. 12.

Таблиця 12

Площа посіву культур, дози внесення добрива, що рекомендуються,

і надбавка урожаю на 1 га

Культури	№ ділянки	Площа посіву, га	Врожайність без внесення добрив з 1 га, ц	Дози внесення діючої речовини, ц			Надбавка урожаю за рахунок внесення добрив з 1 га
				азотних	фосфорних	калійних	ц	грн.
Озима пшениця	1	100	12,5	0,6	0,8	0.4	7,5	105,0
	2	55 .	16,0	0,6	0,9	0.5	8,0	112,0
	3	94	17,0	0,7	1,0	0,4	8,0	112,0
	4	71	19,5	0,8	1,0	0,6	9,3	130,2
Озиме жито	1	87	14,0	0,5	0,7	0,4	6,9	120,8
	2	48	15,8	0,6	0,7	0,4	7,2	126,0
	3	23	17,6	0,6	0,8	0,5	7,4	129,5
Картопля	1	54	136	0,3	0,7	0,5	34,2	444,6
	2	39	137	0,3	0,7	0,5	38,0	494,0
	3	28	148	0,3	0,8	0,6	39,0	507,0
	4	42	152	0,4	0,9	0,7	41,5	539,5
	5	69	155	0.4	1.0	0,7	45,6	592,8

Під культури виділяється наступна кількість мінеральних добрив (ц діючої речовини): азотних—267, фосфорних—481, калійних—319.

Крім того, за планом потрібно провести 9700ц зерна і 40000ц картоплі. Критерій оптимальності—максимум виробництва товарної продукції.

Методичні вказівки до виконання завдання. Для складання плану розподілу мінеральних добрив в сільськогосподарських підприємствах можна використовувати наступну структурну економіко-математичну модель.

Позначення:

j	- індекс сільськогосподарської культури на окремій ділянці;
i	- індекс обмеження;
xj	- площа, що удобрюється, j-ї сільськогосподарської культури на окремій ділянці;
ij	- норма внесення i-ro добрива на гектар j-ї сільськогосподарської культури на окремій ділянці;
vij	- приріст врожайності j-ї сільськогосподарської культури за рахунок внесення добрив з розрахунку на 1га;
cj	- вартість надбавки урожаю j-ї культури на окремій ділянці за рахунок внесення добрив з розрахунку на 1га;
Bi	- об'єм i-ro виду добрив;
Sj	- площа обробітку j-ї культури на окремій ділянці;
Qi	- гарантований об'єм приросту i-ї продукції за рахунок внесення добрив;
N	- множина, що включає номери сільськогосподарських культур на окремих ділянках;
M1	- множина, що включає номери обмежень по внесенню i-х видів добрив;
M2	- множина, що включає номери обмежень за площею сільськогосподарських культур на окремих ділянках;
M3	- множина, що включає номери обмежень по гарантованому приросту i-x видів продукції.

Мета задачі—скласти такий план розподілу мінеральних добрив, щоб загальна вартість надбавки урожаю була максимальна:

при виконанні обмежень:

1) по використанню і наявності добрив:

2) за площею окремих ділянок, що удобрюється:

3) по гарантованому приросту продукції:

Модель може бути також доповнена групою обмежень по обов'язковому внесенню добрив під провідні сільськогосподарські культури. Як критерій оптимальності може використовуватися умовний чистий дохід, що розраховується як різниця між вартістю надбавки урожаю і додатковими витратами на її отримання.

Рішення задачі. Складемо розгорнену економіко-математичну модель. Змінними завдання є шукані площі, що удобрюються:

x₁ –

x₂ -

x₃ -

x₄ -

x₅ -

x₆ -

x₇ -

x₈ -

x₉ -

x₁₀ -

x₁₁ -

x₁₂ -

Для складання моделі розрахуємо гарантований об'єм виробництва зерна і картоплі за рахунок внесення добрив. Для цього з плану виробництва кожного виду продукції віднімаємо об'єм виробництва, що збирається із запланованої площі без внесення добрив.

Запишемо систему обмежень.

1. Умови по використанню і наявності мінеральних добрив:

1) азотних:

2) фосфорних:

3) калійних:

2. Умови за площею окремих ділянок, що удобрюється:

4) озимої пшениці 1-ої ділянки:

5) озимої пшениці 2-ої ділянки:

6) озимої пшениці 3-ої ділянки:

7) озимої пшениці 4-ої ділянки:

8) озимому житу 1-ої ділянки:

9) озимому житу 2-ої ділянки:

10) озимому житу 3-ої ділянки:

11) картоплі 1-ої ділянки:

12) картоплі 2-ої ділянки:

13) картоплі 3-ої ділянки:

14) картоплі 4-ої ділянки:

15) картоплі 5-ої ділянки

1. Умови по гарантованому приросту продукції:

16) зерна:

17) картоплі:

Цільова функція – максимум вартості надбавки урожаю:

Z=

Запишемо модель в матричному вигляді (табл. 13)

Аналіз рішення. В результаті рішення задачі на ЕОМ отриманий наступний оптимальний план розподілу мінеральних добрив під посіви продовольчих культур (табл. 14, 15).

Таблиця 14.

Площі культур, що удобрюються, і надбавка урожаю по оптимальному плану

Змінні	Культури	№ ділянки	Площа посіву, га	Площа, що удобрюється, га	% площі, що удобрюється	Врожайність без внесення добрив, ц	Планована врожайність, ц	Приріст врожайності %
х1	озима пшениця	1
х2		2
х3		3
х4		4
х5	озиме жито	1
х6		2
х7		3
х8	картопля	1
х9		2
х10		3
х11		4
х12		5
	Разом

Таблиця 15.

Оптимальний план розподілу добрив по ділянках

Змінні	Культури	№ ділянки	Площа, що удобрюється, га	Внесення мінеральних добрив (ц) речовини, що діє
				азотних	фосфорних	калійних
х1	Озима пшениця	1
х2		2
х3		3
х4		4
х5	Озиме жито	1
х6		2
х7		3
х8	Картопля	1
х9		2
х10		3
х11		4
х12		5
	Разом

Таблиця 7.

\

Таблиця 13