1.2. Метод потенціалів

Завдання. У господарстві заготовили 1740т сіна. Сіно розташоване на п'яти різних ділянках в наступній кількості: на першій ділянці—750т, другому—430т, третій — 120т, четвертому—170т і п'ятому—270т. Сіно потрібно доставити до чотирьох тваринницьких ферм: на першу ферму—150т, другу—420т, третю—270т і четвертую — 800т.

Відстань перевезення сіна від кожної ділянки до ферм така (табл. 2).

Таблиця 2

Відстань від ділянок до ферм (км.)

Ділянки	Ферми
	1-а	2-а	3-а	4-а
1-й	3	11	3	6
2-й	2	9	10	7
3-й	9	5	6	12
4-й	7	4	2	3
5-й	3	5	10	8

Потрібно скласти такий план перевезень сіна, щоб транспортні витрати були мінімальними.

Вказівки до виконання завдання. Транспортне завдання є одному із завдань лінійного програмування, оскільки всі її умови можна виразити у вигляді системи лінійних обмежень і записати цільову функцію. Тому дане завдання може бути вирішена за допомогою симплексного методу. Проте існують простіші в порівнянні з симплексним методи вирішення завдань такого роду. Серед них найбільш простим і ефективним є метод потенціалів.

При вирішенні транспортних завдань перш за все перевіряється умова рівності ресурсів постачальників потребам споживачів. Якщо ця умова не виконується, то вводиться фіктивний постачальник або споживач. При цьому фіктивні об'єми ресурсів або потреб включаються в завдання з нульовими оцінками.

Потім заповнюється розрахункова таблиця і складається перший опорний план, який можна отримати декількома способами. Більш близький до оптимальному опорний план може бути отриманий з використанням методу «якнайкращого» елементу в таблиці. При цьому способі складання плану починається з клітки з мінімальною оцінкою при рішенні задачі на мінімум або з максимальної — при вирішенні на максимум. Якщо в таблиці є декілька кліток з однаковими «кращими» оцінками, то заповнюється перш за все клітка, в яку можна записати найбільше постачання.

Загальне число заповнених кліток повинне бути рівне т+п-1 (т — число рядків, п - число стовпців). Якщо число заповнених кліток опиниться менше цієї величини, то проводиться перерозподіл постачань або ж в одну з вільних кліток ставиться нульове постачання і ця клітка вважається заповненою.

Після складання першого опорного плану за допомогою алгоритму методу потенціалів проводиться перевірка його на оптимальність і, якщо план не оптимальний, то здійснюється його поліпшення.

Алгоритм методу потенціалів (рішення задачі на мінімум).

1. Для всіх заповнених кліток розраховуються потенціали за формулою:

u_i+v_j=c_ij

де u_i - потенціали рядків;

v_j - потенціали стовпців;

c_{ij -} оцінки.

Для розрахунку потенціалів одному з них спочатку надають будь-яке значення. Зазвичай u_i=0

2. Для всіх вільних кліток розраховуються характеристики за формулою:

d_ij=c_ij-(u_i+v_j)

Якщо в таблиці немає жодної вільної клітки з негативною (при рішенні на максимум—позитивною) характеристикою, то план вважається оптимальним.

3. Серед від’ємних (при рішенні на максимум — додатніх) характеристик вибирається максимальна по абсолютній величині, і для клітки з цією характеристикою будується ланцюг. Для цього з вибраної вільної клітки по рядку або стовпцю проводиться пряма лінія до зайнятої клітки, потім під кутом 90° лінія проводиться до наступної зайнятої клітки і так до тих пір, поки ланцюг не замкнеться в початковій клітці.

4. У вершинах ланцюга, починаючи з вибраної вільної клітки, по черзі проставляються знаки плюс і мінус. У клітках із знаком мінус вибирається мінімальне постачання, яке перерозподіляється по ланцюгу: там, де стоїть знак «плюс», вона додається, а де «мінус»— віднімається. Початкова вільна клітка стає зайнятою, а клітка, в якій вибрано мінімальне постачання, — вільною. У випадку якщо є декілька кліток з мінімальним постачанням, то вільною стає клітка з максимальною (при рішенні на максимум—мінімальною) оцінкою, а в останніх проставляється постачання «0».

Складається новий план і розраховується значення цільової функції.

5. Йти до 1.

Рішення задачі. Перевіримо умову рівності ресурсів постачальників потребам споживачів;

Заповнимо розрахункову таблицю 1 і складемо перший опорний план методом «якнайкращого» елементу в таблиці. Число заповнених кліток повинне бути m+n-1=

Розрахункова таблиця 1.

Ділянка	Ферми					Наявність сіна, т	ui
	1-а	2-а	3-а	4-а
1-а
2-а
3-а
4-а
5-а
Потрібність у сіні, т
vj

Розрахуємо значення цільової функції:

Z=

Перевіримо, чи є план оптимальним, якщо ні, то поліпшимо його.

1. Розрахунок потенціалів:

2. Розрахунок характеристик:

3. Максимальна по абсолютній величині негативна характеристика в клітці _______ .Для її будуємо ланцюг.

4. По ланцюгу перерозподіляємо постачання _________.

Розрахункова таблиця 2.

Ділянка	Ферми					Наявність сіна, т	ui
	1-а	2-а	3-а	4-а
1-а
2-а
3-а
4-а
5-а
Потрібність у сіні, т
vj

Розрахуємо значення цільової функції:

Z=

Перевіримо, чи є план оптимальним, якщо ні, то поліпшимо його.

1. Розрахунок потенціалів:

2. Розрахунок характеристик:

3. Максимальна по абсолютній величині негативна характеристика в клітці _______ .Для її будуємо ланцюг.

4. По ланцюгу перерозподіляємо постачання _________.

Розрахункова таблиця 3.

Ділянка	Ферми					Наявність сіна, т	ui
	1-а	2-а	3-а	4-а
1-а
2-а
3-а
4-а
5-а
Потрібність у сіні, т
vj

Розрахуємо значення цільової функції:

Z=

Перевіримо, чи є план оптимальним, якщо ні, то поліпшимо його.

1. Розрахунок потенціалів:

2. Розрахунок характеристик:

3. Максимальна по абсолютній величині негативна характеристика в клітці _______ .Для її будуємо ланцюг.

4. По ланцюгу перерозподіляємо постачання

Розрахункова таблиця 4.

Ділянка	Ферми					Наявність сіна, т	ui
	1-а	2-а	3-а	4-а
1-а
2-а
3-а
4-а
5-а
Потрібність у сіні, т
vj

Розрахуємо значення цільової функції:

Z=

Перевіримо, чи є план оптимальним, якщо ні, то поліпшимо його.

1. Розрахунок потенціалів:

2. Розрахунок характеристик:

3. Максимальна по абсолютній величині негативна характеристика в клітці _______ .Для її будуємо ланцюг.

4. По ланцюгу перерозподіляємо постачання _________.