Методи знаходження розв’язків задач лінійного програмування

До методів вирішення задач ЛП відносяться такі:

• графічний метод;

• сімплекс-метод.

Симплексний метод вирішення задач.

Сімплекс-метод є аналітичним методом знаходження рішення задач ЛП.

Як прави­ло, задачу зводять до канонічної форми.

Означення. Задачу лінійного програмування вважають записаною у канонічній формі, якщо вона задовольняє такі умови:

1. Система обмежень зведена до системи рівнянь виду (4.5).

2. Система рівнянь зображена в такому вигляді, де кожна ба­зова невідома входить тільки в одне рівняння системи з коефіцієн­том рівним одиниці, при чому немає рівнянь, в які не входила хоча б одна базова невідома. Якщо деякі рівняння системи поміняти місцями так, щоб нумерація базових невідомих була строго зрос­таючою, то базовий мінор в цьому випадку складає одиничну мат­рицю.

3. Вільні члени системи обмежень невід'ємні.

4. Оптимізуюча форма залежить тільки від вільних невідомих.

Сучасна електронно-обчислювальна техніка у вигляді персональних комп'ютерів (ПК) має потужне математичне забезпечення, яке підтримує економіко-математичні задачі. У тому числі це стосується такої програмної системи загального призначення як середовище ЕХСЕL, де можуть бути реалізовані сімплекс-методом задачі ЛП. Таблична програма ЕХСЕL дозволяє зберігати та обробляти інформацію задач ЛП у формі електронних таблиць. За допомогою ПК оптимізаційні економічні задачі ЛП можуть бути реалізованими практично з любою розмірністю. Але при невеликій кількості змінних у задачі ЛП (п < 6...8) вона може бути вирішена сімплекс-методом і ручним способом.

У загальному випадку рішення основної задачі ЛП сімплекс-методом складаються з трьох частин:

а) виключення обмежень-рівнянь, які у вхідних даних розглядаються як 0-рівняння;

б) знаходження опорного (або допустимого) рішення;

в) знаходження оптимального рішення.

У кожному з трьох частин використовується такий чисельний спосіб як модифіковані жорданові виключення. Така схематизована операція складається із переміни ролями залежної змінної у_s та незалежної х_s в системі лінійних обмежень за певними правилами.

Виключення обмежень-рівнянь має на меті наступний розгляд обмежень тільки з r нерівностями. При цьому (т-r) змінних х_j набувають певного значення і стільки ж 0-рівнянь виключаються з подальшого розгляду.

Знаходження опорного рішення в геометричній інтерпретації відповідає тому, що досягається одна з вершин многогранника допустимих рішень.

Знаходження оптимального рішення геометрично означає цілеспрямований перехід після кожного шагу модифікованого жорданова виключення від однієї вершини многранника допустимих рішень до другої його вершини вздовж ребер цього многогранника для того, щоб кожне наступне рішення уточнювало попереднє і в результаті була досягнута найбільш (найменш) віддалена вершина від площини рівня, що відповідає оптимальному рішенню для цільової функції.

Алгоритм сімплекс-методу є монотонним і кінцевим (рішення змінюється в одному напрямку і досягається за кінцевим числом кроків).