§ 5. Результат та його застосування.

Означення. Результатом многочленів та називається число , де - корені многочлена .

Властивість1. де

- корені многочлена .

Властивість 2.

Властивість 3.

… …

. … …

. . .

… …

… …

. … …

. . .

… …

Ця форма результата називається формою Сільвестра.

Теорема 1. Якщо многочлени і мають спільний корінь, то .

Теорема 2. Якщо , то або многочлени та мають спільний корінь або обидва їх старші коефіціенти дорівнюють нулю.

Розглянемо систему алгебраїчних рівнянь:

(1)

Розглядаючи як параметр, побудуємо

є алгебраїчним многочленом відносно степеня , який не перевищує добутку степенів многочленів , (відносно обох змінних).

Многочлен має в полі комплексних чисел коренів . Якщо результат дорівнює нулю, то на основі теореми 2 многочлени

(2)

Або мають спільний корінь, або їх старші коефіціенти , дорівнюють нулю.

1. Якщо хоча б один з коефіціентів , відмінний від нуля, то , мають спільний корінь . Пара чисел є одним з розв’язків системи (2). Для даного може бути декілька спільних коренів , , наприклад, . Тоді пари чисел , є розв’язками системи (2).

2. Якщо та то та можуть і немати спільних коренів. Тоді ми відкидаємо. Якщо ж , мають спільний корінь , то -розв’язок системи.

Щоб знайти всі розв’язки системи рівнянь (1) потрібно розглянути алгебраїчно всі корені результата .

Таким чином, щоб розв’язати систему алгебраїчних рівнянь (1) потрібно:

1. Побудувати результат та знайти всі його корені;

2. Знайдений корінь підставити в многочлени , .

3. Знайти найбільший спільний дільник многочленів , .

4. Розв’язати рівняння . Корені цього рівняння є спільними коренями многочленів та .

5. Скласти систему пар чисел .

Приклад. Розв’язати систему рів7нянь:

Обчислимо результат :

.

Коренями будуть ; ; .

1). ,

Спільного кореня немає. В цьому випадку система немає розв”язку.

2). ,

Спільним коренем буде . Отже, є розв’язком системи.

3) ,

Спільний корінь . Отже, - є розв’язком системи рівнянь.

Відповідь: , .

Розв’язати систему рівнянь:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

При якому мають спільні корені многочлени:

22.

23.

24.

25.

Обчислити результати многочленів:

26.

27.

28.

29.

30.