§ 3. Відокремлення кратних множників.
Нехай
- деякий многочлен над полем П.
Похідною
многочлена
називається многочлен
.
Вважаємо, що похідна многочлена нульового степеня і нуль-многочлена є нуль-многочлен.
Елемент
поля П називається коренем
многочлена
,
якщо
.
Елемент
поля П називається
-кратним
коренем
якщо
ділиться без остачі на
і не ділиться на
.
Для
того щоб елемент
поля П був коренем кратності
многочлена
необхідно і достатньо, щоб
.
Позначимо
добуток всіх незвідних множників першої
кратності через
-
добуток всіх незвідних множників другої
кратності і так дальше. Тоді
(1).
Запис многочлена у виді (1) називається відокремленням кратних множників.
Будь-який многочлен над полем П характеристики 0 можна відокремити кратні множники за допомогою скінченого числа раціональних дій над деякими многочленами.
Схема знаходження
многочленів
задається таблицею:
|
...
|
...
|
|
||
|
||
...
|
||
|
||
|
Приклад. Відокремити кратні множники многочлена:
Знайдемо
многочлени
для многочлена
.
.
Знайдемо за алгоритмом Евкліда
:
(множимо
на 2)
(ділимо на 2)
(множимо
на
)
(
ділимо
на
)
Таким
чином,
,
.
.
Обчислимо
;
;
.
Знайдемо
.
;
;
.
Отже,
.
Відокремити кратні множники многочленів:
§4. Знаходження раціональних коренів многочленів.
Розглянемо
рівняння
(1) з цілими коефіціентами.
Теорема 1.
Для того щоб раціональне число
було розв’язком рівняння (1) необхідно
щоб
було дільником вільного члена
,
- дільником старшого коефіціента
.
Наслідок.
Якшо старший коефіціент
,
то всі раціональні розв’язки рівняння
(1) є цілі числа, як – дільники вільного
члена
.
Теорема 2.
Для того щоб
було раціональним розв’язком рівняння
(1) необхідно, щоб при довільному цілому
.
На практиці
фіксують
.
Приклад. Знайти раціональні розв’язки рівняння:
Раціональними розв’язками можуть бути:
Для даного
рівняння
.
Визначимо, які з даних чисел задовільняють
умову:
.
Такими є числа
Аналогічно
.
Цю умову задовільняють
лише числа:
Безпосередньою
перевіркою переконуємося, що числа
та
є раціональними розв’язками рівняння.
Зауваження. При розв’язуванні алгебраїчних рівнянь доцільно використовувати схему Горнера.
Розв’язати рівняння, знайшовши спочатку його раціональні корені:
