Індивідуальні завдання та методичне забезпечення самостійної роботи з алгебри і теорії чисел (IV семестр) для студентів стаціонарної та заочної форм навчання
Підготував: проф. Петрівський Б.П.
Рівне - 2010
§1. Рівняння 3-го і 4-го степенів та їх розв’язання методом Кардано та Феррарі.
Розглянемо
рівняння 3-го степеня:
в полі
с.
Покажемо
що за допомогою заміни
можна позбутися квадрата невідомої
величини. Справді:
або
.
Підбедемо t
так, щоб
,
тобто
,
тоді одержимо:
.
Рівняння
(1) називається зведеним
кубічним рівнянням.
Будемо
шукати розв’язок
цього рівняння у виді
.
Отримаємо:
або
.
Покладемо (2)
,
тоді
.
Тобто (3)
Позначимо:
,
Згідно теореми Вієта
і
є розв’язками рівняння:
звідси
звідси
,
і
(4) – формула Кардано.
Оскільки
корінь третього степеня з комплексного
числа має три різні комплексні значення,
то з формули (4) отримаємо дев’ять
комплексних чисел. Цей результат є
наслідком того, що
не є еквівалентним
.
На
практиці ми знаходимо три значення u
з формули
,
а відповідні значення v
знаходимо
з умови (2)
.
Іноді краще знаходити значення v,
а відповідні значення u
знаходимо
з формули (2).
Приклад.
Розв’язати
рівняння:
.
Розв’язання:
Нехай
.
Одержимо
або
Якщо
,
то
.
Розв’яжемо
,
тоді
або
.
Виберемо u
та v
так, щоб
або
,
тоді
.
Маємо
Позначимо:
,
.
Тоді маємо рівняння
,
.
Звідси
,
,
,
,
.
Знайдемо
відповідні значення
,
,
.
;
;
.
;
;
.
Значить,
;
;
.
Розглянемо
метод Феррарі розв’язування рівняння:
(5)
Виділимо з перших двох доданків квадрат:
.
1. Нехай
,
тоді
або
і
розв’язок рівняння
та
будуть розв’язками рівняння (5).
2. Якщо
не є квадратом, то вводимо параметр
так, щоб цей вираз був квадратом (6)
.
Підберемо
так, щоб вираз другого доданку був
квадратом (для цього дискримінант
квадратного тричлена дорівнює 0).
або
(7)
Рівняння (6) називається резольвентним (розв’язуючим рівнянням) рівнянням для (5).
Знайшовши
будь-який розв’язок
рівняння (7) та підставивши його значення
в (6), отримаємо:
та
.
Розв’язки цих рівнянь будуть розв’язками рівняння (5). На практиці замість параметра часто розглядають параметр .
Приклад
2.
Розв’язати
рівняння:
.
Розв’язання:
Виділимо
квадрат:
або
.
Звідси
або
,
,
,
.
Приклад
3.
Розв’язати
рівняння:
.
Розв’язання:
Маємо
,
введемо параметр
:
або
(8)
.
Резольвентним рівнянням буде:
.
Одним з розв’язків цього рівняння буде
.
Підставимо
в (8)
або
Звідси
Розв’язати методом Кардано рівняння:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
Розв’язати рівняння методом Феррарі:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
