Раздел 6. Принятие решений с использованием моделей массового обслуживания Введение

В данном разделе разбираются методы принятия решений с использованием моделей массового обслуживания. Рассматриваются различные математические модели систем массового обслуживания.

После изучения данного раздела рекомендуется ответить на вопросы для самопроверки и на вопросы теста 6.

В случае, если ответы на какие-либо вопросы вызовут затруднение или неуверенность, рекомендуется прочитать: Голик, Е.С. Математические методы системного анализа и теории принятия решений: учебное пособие. Ч.2. /Е.С. Голик. – СПб.: Изд-во СЗТУ, 2002 (с. 33 – 51).

6.1. Основные компоненты моделей массового обслуживания

Основными признаками реальной системы, позволяющими рассматривать ее как своеобразную СМО, являются:

• наличие объектов, нуждающихся в случайные моменты времени в обслуживании (в выполнении некоторых работ над собой или для себя); эти объекты порождают так называемый входящий поток заявок (требований) на обслуживание;

• наличие объектов, которые производят обслуживание и называются обслуживающими приборами (каналами);

• возникновение задержек в обслуживании (образование очереди).

В качестве своеобразных СМО могут рассматриваться: системы связи и ремонта; пункты технического обслуживания; вычислительные центры и отдельные ЭВМ: автоматизированные производственные цехи, поточные линии; транспортные системы; системы материального обеспечения.

Для задания СМО необходимо указать: входящий поток заявок, множество обслуживающих приборов и дисциплину обслуживания.

При аналитическом исследовании СМО чаще всего предполагают, что входящий поток – простейший поток событий интенсивности . Часто заявку отождествляют с ее материальным носителем: поток приборов, агрегатов, машин, поступающих на ремонт; поток отчетов, поступающий в вычислительный центр и так далее.

Обслуживающий прибор (канал) – это материальный объект или совокупность объектов, одновременно участвующих в обслуживании заявки. В каждый момент времени прибор может обслуживать только одну заявку.

Основным параметром обслуживающего прибора является среднее время обслуживания одной заявки или производительность прибора . Под временем обслуживания t_обсл всегда будем понимать время от момента начала обслуживания заявки до момента готовности прибора к обслуживанию очередной заявки.

При аналитическом исследовании СМО обычно полагают, что t_обсл – случайная величина, распределенная по показательному закону, то есть

.

Таким образом, каждый обслуживающий прибор при непрерывной работе порождает поток обслуженных заявок интенсивности .

6.2. Общая характеристика смо. Роль пуассоновского и экспоненциального распределений в теории смо

Отсутствие последействия в данном случае означает, что вероятность завершения обслуживания заявки в любой момент времени не зависит от того, сколько времени оно уже продолжалось.

В зависимости от числа обслуживающих приборов и характера взаимосвязи между ними в процессе обслуживания заявок различают одноканальные и многоканальные, однофазные и многофазные системы.

Обобщенная схема однофазной многоканальной СМО изображена на рис. 6.1,

Рис. 6.1. Обобщенная схема однофазной многоканально СМО

где сплошной стрелкой показан входящий поток, кружками – заявки, ожидающие обслуживания в очереди, а штриховыми стрелками – возможные пути движения заявок. В этой системе все обслуживающие приборы (П₁, П₂.,. . ., П_n.) выполняют однородные операции обслуживания и работают параллельно. Заявка считается обслуженной системой, если она обслужена одним из ее приборов.

Если обслуживание заявки должно осуществляться последовательно несколькими приборами, то такие системы называются многофазными. Схема одноканальной многофазной (трехфазной) СМО изображена на рис. 6.2. Заявка считается обслуженной системой, если она прошла все фазы обслуживания. Типичными примерами многофазных СМО являются технологические потоки сборки (ремонта) приборов, агрегатов или машин.

Дисциплина обслуживания – это совокупность правил поведения заявки от момента ее поступления в систему до момента прекращения обслуживания. К основным правилам обслуживания относятся: выбор свободного прибора, назначение очередной заявки на обслуживание и дисциплина очереди.

Выбор свободного прибора может осуществляться:

– случайным образом (например, с равной вероятностью);

– в порядке нумерации (наибольший или наименьший номер);

– в зависимости от времени нахождения прибора в состоянии «свободен» (наименьшее или наибольшее время).

В основе правил назначения очередной заявки на обслуживание лежит или фактическое время ожидания, или остающаяся часть времени ожидания. Частными случаями .являются:

– равновероятное поступление на обслуживание любой заявки из очереди;

– строгая очередность – заявки к обслуживанию назначаются в порядке поступления;

– обратная очередность – «последним пришел – первым обслуживается».

Рис. 6.2. Схема одноканальной многофазной (трехфазной) СМО

Иногда назначение на обслуживание происходит по некоторой системе приоритетов (пенсионеры обслуживаются в первую очередь).

Дисциплина очереди определяет, в каких случаях заявка становится в очередь и когда она покидает систему, и задается в виде ограничений, накладываемых на параметры СМО: длина очереди (максимально допустимое число заявок в очереди т), время ожидания заявки в очереди t_ож или время пребывания заявки в системе t_c(t_c= t_ож+t_обсл).

Ограничение времени ожидания (пребывания) означает, что заявка может ожидать обслуживания (находиться в СМО) какое-то время, не превышающее некоторой случайной величины _ож(_с).

Эти ограничения определяют поток заявок, уходящих из очереди (системы) необслуженными. Обычно предполагают, что этот поток – простейший поток событий интенсивности

,

где – среднее допустимое время ожидания (пребывания). Следует подчеркнуть, что дисциплина очереди не является чем-то внешним по отношению к заявкам. Наоборот, чаще всего указанные ограничения определяются характером заявок.

В зависимости от совокупности ограничений, накладываемых на параметры СМО, различают:

– СМО с отказами – образование очереди не допускается; заявка, заставшая все приборы занятыми, покидает систему;

– чистая СМО с ожиданием – любая заявка, поступившая в систему, будет рано или поздно обслужена (на параметры СМО ограничения не накладываются);

– смешанные СМО – накладывается ограничение на один из параметров: т – СМО с конечной очередью; t_ож(t_с) – СМО с ограниченным временем ожидания (пребывания) или одновременно на параметры т и t_ож(t_с).

Главная задача исследования СМО – установление связи меж­ду параметрами системы (n – число каналов, m, , , v) и пока­зателями ее эффективности.

Для решения этой задачи прежде всего необходимо построить математическую модель системы.