Особые случаи

Схематическое сопоставление всех возможных полезностей e_ij различных решений в матрице табл. 3.1 облегчает поначалу их обозрение, не требуя при этом формальной оценки. Эта мат­рица может быть меньшего объема (табл. 3.4) и даже выро­диться в единственный столбец, если будет представлена пол­ная информация о том, с каким внешним состоянием F_j следует считаться. Это соответствует элементарному сравнению различ­ных технических решений. Матрица решений может, однако, свестись и к единственной строке (табл. 3.4). В этом случае мы имеем дело с так называемой фатальной ситуацией приня­тия решений, когда в силу ограничений технического характе­ра, внешних условий и других причин остается единственный вариант E_i, хотя его дальнейшие последствия зависят от внеш­него состояния F_j, и поэтому результат решения оказывается неизвестным.

Случается и так, что некоторый вариант решения, например E_k, оказывается настолько удачным, что для другого варианта E_l из матрицы решений выполняются неравенства е_kj  е_lj для j = 1, ..., п. Тогда говорят, что вариант E_k доминирует над ва­риантом E_l. Вариант E_k в этом случае с самого начала оказы­вается лучшим, а вариант E_l, напротив, не представляет далее интереса. Более подробно понятие доминирования будет рас­смотрено в конце раздела 3.5.

Ради возможности графической интерпретации вернемся еще раз к решениям с двумя только внешними состояниями: F₁ и F₂. Все варианты, доминирующие над точкой РТ, лежат на рис. 3.1 в конусе предпочтения (то есть в I квадранте), а вариан­ты, над которыми РТ доминирует, расположены в антиконусе (в III квадранте). Следовательно, для формального оценива­ния остаются точки из II и IV квадрантов, первоначально на­званных областями неопределенности. Этими областями мы займемся в следующей главе. В этих квадрантах будут найде­ны варианты, оптимальные в смысле различных критериев, и даны их количественные оценки. Для этого соответствующие функции предпочтения должны быть в обеих областях разум­ным образом упорядочены.

3.2. Классические критерии. Минимаксный критерий Минимаксный критерий

Минимаксный критерий (ММ) использует оценочную функцию (2.6), соответствующую позиции крайней осторожно­сти.

При

(3.8)

и

(3.9)

справедливо соотношение

, (3.10)

где z_mm — оценочная функция ММ-критерия.

Поскольку в области технических задач построение множе­ства Е вариантов уже само по себе требует весьма значитель­ных усилий, причем иногда возникает необходимость в их рас­смотрении с 'различных точек зрения, условие включа­ется во все критерии. Оно должно напоминать о том, что сово­купность вариантов необходимо исследовать возможно более полным образом, чтобы была обеспечена оптимальность выби­раемого варианта.

Правило выбора решения в соответствии с ММ-критерием можно интерпретировать следующим образом.

Матрица решений ||е_ij|| дополняется еще одним столбцом из наименьших результатов е_ir каждой строки. Выбрать надле­жит те варианты Е_i0, в строках которых стоят наибольшие значения е_ir этого столбца.

Выбранные таким образом варианты полностью исключают риск. Это означает, что принимающий решение не может столк­нуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориенти­руется. Какие бы условия F_j ни встретились, соответствующий результат не может оказаться ниже Zмм. Это свойство застав­ляет считать минимаксный критерий одним из фундаменталь­ных. Поэтому в технических задачах он применяется чаще всего как сознательно, так и неосознанно. Однако положение об отсутствии риска стоит различных потерь. Продемонстрируем это на небольшом примере (табл. 3.6).

Хотя вариант E₁ кажется издали более выгодным, согласно ММ-критерию оптимальным следует считать E₀={E₂}. Приня­тие решения по этому критерию может, однако, оказаться еще менее разумным, если:

– состояние F₂ встречается чаще, чем состояние f₁, и

– решение реализуется многократно.

Таблица 3.6. Пример вариантов решения без учета риска

	F1	F2	eir
E1	1	100	1
E2	1,1	1,1	1,1	1,1

Выбирая вариант E_i, предписываемый ММ-критерием, мы, правда, избегаем неудачного значения 1, реализующегося в ва­рианте E₁ при внешнем состоянии F₁, получая вместо него при этом состоянии немного лучший результат 1,1, зато в состоянии F₂ теряем выигрыш 100, получая всего только 1,1. Этот пример показывает, что в многочисленных практических ситуа­циях пессимизм минимаксного критерия может оказаться очень невыгодным.

Применение ММ-критерия бывает оправданно, если ситуа­ция, в которой принимается решение, характеризуется следую­щими обстоятельствами:

– о возможности появления внешних состояний f_j ничего не известно;

– приходится считаться с появлением различных внешних состояний F_j;

– решение реализуется лишь один раз;

– необходимо исключить какой бы то ни было риск, то есть ни при каких условиях F_j не допускается получать результат, меньший, чем z_mm.