Обработка и анализ попарных сравнений

При выражении предпочтений на множестве предъявлений эксперты достаточно просто решают эту задачу методом попарного сравнения. За­дачи обработки и анализа в этом слу­чае заключаются в получении груп­пового суждения об элементах множе­ства предъявлений по результатам индивидуальных попарных сравнений. В отличие от выражения предпочтений методами ранжирования и балльного оценивания для попарного сравнения не требуется соблюдение условия тран­зитивности, что снимает психологиче­ские трудности восприятия экспер­тами различных характеристик всего множества элементов. Согласование мнений экспертов и противоречивость суждений отдельного эксперта являют­ся первоочередными задачами обра­ботки и анализа.

В результате попарного сравнения элементов d_j Є D, каждый из n экспертов проводит оценку всех из 0,5m(m-1) пар элементов (d_j, d_k) по следующему правиду:

.

Числа представляют из себя элементы матрицы E^(l) попарных сравне­ний каждого из n экспертов. Получен­ные матрицы E^(l) осредняются с уче­том мнений всех экспертов:

. (2.42)

Числа являются элементами матрицы размером , причем . На основе матрицы можно получить групповую ранжировку множества предъявлений, определить весовые коэффициенты (коэффициенты важности) элементов d_j Є D и оценить согласованность мнений экспертов. Оценку согласованности мнений экспертов можно проводить с использованием коэффициентов ва­риации, вычисляемых по (2.33) − (2.34) с подстановкой вместо х_l величины , вместо − величины . В общем случае противоречивость суж­дений отдельных экспертов оценивают с использованием (2.35)−(2.37). После выполнения указанных этапов построение групповой ранжировки и определение коэффициентов важности α_j, осуществляют следую­щим образом.

Решается уравнение вида

(2.43)

с целью отыскания собственного вектора α матрицы . В (2.43) η есть собственное число матрицы , а I – единичная диагональная матрица.

Поскольку в общем случае матрица не удовлетворяет требованию транзитивности, то решение (2.43) осуществляется с помощью следующего алгоритма.

Алгоритм 2

1. Задать критерий останова и требуемое количество итераций вычисления α_j, .

2. Положить t = 0 и все , .

3. Положить t = t + 1.

4. Вычислить:

.

5. Проверить условие t ≥ t^тр: да – окончить вычисление; нет – перейти к п. 3.

Практика показывает, что t^тр = 3÷5.

Компоненты собственного вектора матрицы являются весовыми коэффициентами элементов d_j, измеренные в шкале отношений, причем .

Результирующая ранжировка определяется по правилу:

. (2.44)

Если в экспертном опросе участвует сравнительно большое число специалистов (n ≥ 10), то обработка и ана­лиз попарных суждений проводится комбинированным методом, предло­женным Л. Терстоуном. Этот метод предполагает предварительное ранжи­рование элементов, а затем получение групповой ранжировки методом по­парных сравнений. В любом случае рабочей является матрица , , элементы которой суть доли экспертов, считающих элемент d_i предпочтительней элемента d_j . Элементы матрицы Р удовлетворяют условию p_ij + p_ji = 1.

Строят матрицу , элементы которой определяют с использованием табличной функции нормального рас­пределения:

,

где − функция, обратная функции .

Рассчитывают

, .

Полученные вероятности нормируют, в результате чего получают коэффициенты важности:

, .

Групповую ранжировку получают по (2.44). Проверку непротиворечивости индивидуальных суждений экспертов осуществляют принятыми в статистике методами. Обычно рассчитывают теоретическую долю случаев, когда элемент d_i предпочтительней элемента d_j ,и сравнивают ее с фактической долей p_ij. Для этого определяют разности:

, , .

и вычисляют:

, , .

Рассчитывают отклонения:

, , .

Вычисляют среднее по модулю отклонение

и сравнивают с модулем максимального из отклонений. Если , то полученные оценки непротиворечивы.