Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ММСА_Опорный конспект_Р.2.doc
Скачиваний:
1
Добавлен:
01.04.2025
Размер:
1.59 Mб
Скачать

2.5. Коэффициенты ранговой корреляции Кендалла и Спирмена

При ранжировании эксперт должен расположить оцениваемые элементы в порядке возрастания (убывания) их предпочтительности и приписать каждому из них ранги в виде натураль­ных чисел. При прямом ранжировании наиболее предпочтительный элемент имеет ранг 1 (иногда 0), а наименее предпочтительный — ранг m.

Если эксперт не может осуществить строгое ранжирование из-за того, что, по его мнению, некоторые элементы одинаковы по предпочтительности, то допускается присваивать таким элементам одинаковые ранги. Чтобы обеспечить равенство суммы рангов сумме мест ранжируемых элементов, применяют так называемые стандарти­зированные ранги. Стандартизированный ранг есть среднее арифмети­ческое номеров элементов в ранжиро­ванном ряду, являющихся одинако­выми по предпочтительности.

Пример 2.6. Эксперт упорядочил шесть элементов по предпочтению следующим образом:

Тогда стандартизированные ранги этих элементов будут

Таким образом, сумма рангов, приписанных элементам, будет равна сумме чисел натурального ряда.

Точность выражения предпочтения путем ранжирования элементов существенно зависит от мощности мно­жества предъявлений. Процедура ранжирования дает наиболее надежные результаты (по степени близости выявленного предпочтения и «истинного»), когда число оцениваемых элементов не более 10. Предельная мощность множества предъявления не должна превосходить 20.

Обработка и анализ ранжировок проводятся с целью построения группового отношения предпочтения на основе индивидуальных предпочтений. При этом могут ставиться следующие задачи: а) определение тесноты связи между ранжировками двух экспертов на элементах множества предъявлений; б) определение взаимосвязи между двумя элементами по индивидуальным мнениям членов группы относительно различных характеристик этих элементов; в) оценка согласованности мне­ний экспертов в группе, содержа­щей более двух экспертов.

В первых двух случаях в качестве меры тесноты связи используется коэффициент ранговой корреляции. В за­висимости от того, допускается ли только строгое или нестрогое ранжи­рование, используется коэффициент ранговой корреляции либо Кендалла, либо Спирмена.

Коэффициент ранговой корреляции Кендалла для задачи (a)

, (2.5)

где m − число элементов; r1iранг, приписанный первым экспертом i−му элементу; r2iто же, вторым экспертом.

Для задачи (б) компоненты (2.5) имеют следующий смысл: т — число характеристик двух оцениваемых эле­ментов; r1i (r2i) — ранг i характеристики в ранжировке первого (второго) элемента, выставленный группой экс­пертов.

При строгом ранжировании исполь­зуется коэффициент ранговой корреляции р Спирмена:

, (2.6)

компоненты которого имеют тот же смысл, что и в (2.5).

Коэффициенты корреляции (2.5), (2.6) изменяются от -1 до +1. Если коэффициент корреляции равен +1, то это означает, что ранжировки одинаковы; если он равен -1, то − противоположны (ранжировки обратны друг другу). Равенство коэффициента корреляции нулю означает, что ран­жировки линейно независимы (некоррелированы).

Поскольку при таком подходе (эк­сперт − «измеритель» со случайной погрешностью) индивидуальные ран­жировки рассматриваются как случай­ные, то возникает задача статистиче­ской проверки гипотезы о значимости полученного коэффициента корреля­ции. В этом случае используют крите­рий Неймана-Пирсона: зада­ются уровнем значимости критерия α и, зная законы распределения коэффи­циента корреляции, определяют поро­говое значение cα, с которым сравни­вают полученное значение коэффици­ента корреляции. Критическая об­ласть − правосторонняя (в практике обычно сначала расчитывают значение критерия и определяют по нему уро­вень значимости, который сравнивают с пороговым уровнем α).

Коэффициент ранговой корреляции τ Кендалла имеет при т > 10 распре­деление, близкое к нормальному с па­раметрами:

(2.7)

где M [τ] – математическое ожидание; D [τ] – дисперсия.

В этом случае используются таблицы функции стандартного нормального распределения:

,

а граница τα критической области определяется как корень уравнения

. (2.8)

Если вычисленное значение коэф­фициента τ ≥ τα, то считается, что ранжировки, действительно хорошо согласуются. Обычно значение α вы­бирают в пределах 0,01—0,05. Для т ≤ 10 распределение т приведено в табл. 2.1.

Проверка значимости согласован­ности двух ранжировок с использованием коэффициента ρ Спирмена осу­ществляется в том же порядке с ис­пользованием таблиц распределения Стьюдента при т > 10.

В этом случае величина

(2.9)

имеет распределение, хорошо аппроксимируемое распределением Стьюдента с m – 2 степенями свободы. При m > 30 распределение величины ρ хорошо согласуется с нормальным, имеющим M [ρ] = 0 и D [ρ] = .

Для т ≤ 10 проверку значимости ρ осуществляют с помощью табл. 2.2.

Если ранжировки нестрогие, то коэффициент Спирмена

, (2.10)

где ρ – вычисляют по (2.6);

,

, (2.11)

где k1, k2 − число различных групп нестрогих рангов в первой и второй ранжировках соответственно; li − число одинаковых рангов в i-й группе. При практическом использовании ко­эффициентов ранговой корреляции ρ Спирмена и τ Кендалла следует иметь в виду, что коэффициент ρ обеспечивает более точный результат в смысле ми­нимума дисперсии.

Таблица 2.1. Распределение коэффициента ранговой корреляции Кендалла

Sα

m

Sα

4

m

4

5

8

5

8

0

0.625

0.592

0.548

0.540

1

0.500

0.500

0.500

2

0.375

0.408

0.452

0.460

3

0.360

0.386

0.431

4

0.167

0.242

0.360

0.381

5

0.235

0.281

0.364

6

0.042

0.117

0.274

0.306

7

0.136

0.191

0.300

8

0.042

0.199

0.238

9

0.068

0.119

0.242

10

0.0083

0.138

0.179

11

0.028

0.068

0.190

12

0.089

0.130

13

0.0083

0.035

0.146

14

0.054

0.090

15

0.0014

0.015

0.108

16

0.031

0.060

17

0.0054

0.078

18

0.016

0.038

19

0.0014

0.054

20

0.0071

0.022

21

0.0002

0.036

22

0.0028

0.012

23

0.023

24

0.009

0.0063

25

0.014

26

0.002

0.0029

27

0.0083

28

0.0012

29

0.0046

30

0.0004

31

0.0023

33

0.0011

35

0.0005

В табл. даны вероятности , где .

Таблица 2.2. Распределение коэффициента ранговой корреляции Спирмена

m = 4

m = 5

m = 6

m = 7

m = 8

m = 9

m = 10

Sα

α

Sα

α

Sα

α

Sα

α

Sα

α

Sα

α

Sα

α

12

0.458

22

0.475

50

0.210

74

0.249

108

0.250

156

0.218

208

0.235

14

0.375

24

0.392

52

0.178

78

0.198

114

0.195

164

0.168

218

0.184

16

0.208

26

0.342

54

0.149

82

0.151

120

0.150

172

0.125

228

0.139

18

0.167

28

0.258

56

0.121

86

0.118

126

0.108

180

0.089

238

0.102

20

0.042

30

0.225

58

0.088

90

0.083

132

0.076

188

0.060

248

0.072

32

0.175

60

0.068

94

0.055

138

0.048

196

0.038

258

0.048

34

0.117

62

0.051

98

0.033

144

0.029

204

0.022

268

0.030

36

0.067

64

0.029

102

0.017

150

0.014

212

0.011

278

0.017

38

0.042

66

0.017

106

0.0062

156

0.0054

220

0.0041

288

0.0087

40

0.0083

68

0.0083

110

0.0014

162

0.0011

228

0.0010

298

0.0036

70

0.0014

308

0.0011

20

40

70

112

168

240

330

Примечание

В табл. даны вероятности , где .

В последней строке указаны значения .

Для определения вероятности используют формулу

.

Пример 2.7. Два эксперта провели ранжирование показателей эффективности W1−W4 (см. пример 2.3). Необ­ходимо установить степень близости мнений экспертов по Спирмену и Кен­даллу и оценить значимость коэффи­циентов ранговой корреляции ρ, τ. Получены следующие результаты экспертизы (прямая нумерация рангов):

Эксперт

Оцениваемый элемент

W1

W2

W3

W4

1

1

2

4

3

2

2

1

4

3

По (2.5.2) вычисляют коэффициент

.

Для того чтобы воспользоваться табл. 2.2, вычислим значение

.

Так как критическая область определяется равенством ρ > ρα , то равносильное неравенство для Sρ согласно (2.6) имеет вид Sρ < Sα. Поэтому

(см. примечание к табл. 2.2). Большее значение вероятности α свидетельствует о том, что, например, на 5 %-ном уровне значимости (α = 0,05) гипо­тезу о независимости мнений экспер­тов не следует отвергать. Статистиче­ская незначимость полученной оценки обусловлена главным образом малым числом оцениваемых элементов.

Используя коэффициент ранговой корреляции τ Кендалла, по (2.5) получаем

Величина .

Вероятность выполнения неравенства эквивалентна вероятности события .

Поэтому, воспользовавшись табл. 2.1, определим .

Для иллюстрации задачи определе­ния взаимосвязи между двумя эле­ментами по индивидуальным мнениям группы экспертов приведем следую­щий пример.

Пример 2.8. Для решения задач по­вышения качества продукции и сни­жения ее себестоимости, связанных с проблемой повы­шения рентабельности предприятия, эксперты предложили использовать шесть мероприятий и провели их ранжирование с учетом их эффективности по решению каждой из указанных задач. Требуется установить степень влияния предложенных мероприятий на одновременное решение двух указанных задач.

Результаты нестрогого ранжирования после обработки индивидуальных мнений оказались такими:

Элементы

Мероприятия

Повыше-ние качества сырья

Создание премиально-го фонда

Модерни-зация обору-дования

Повыше-ние квалифи-кации рабочих

Сокраще-ние управлен-ческого аппарата

Закупка лицензий

Повышение качества продукции

1

5.5

2.5

2.5

5.5

4

Снижение себестоимости

1

6

4.5

2

4.5

3

По (2.6) коэффициент

.

По (2.10) и (2.11)

;

;

.

Проверка значимости коэффициента ρН при использовании табл. 2.2 показы­вает, что α=0,02. Поэтому на 5 %-ном уровне значимости можно считать, что реализация всех шести мероприя­тий с высокой степенью (рн = 0,86) обеспечивает одновременное решение двух указанных задач.