Задание 4

В задании приведены дифференциальные уравнения II порядка, допускающие понижение порядка.

Рассмотрим частные случаи II порядка, в которых возможно понижение порядка.

I. Уравнение не зависит явно от искомой функции

Следовательно, уравнение имеет вид . Сделаем подстановку , т.е. в качестве новой неизвестной функции возьмем . Тогда уравнение преобразуется в уравнение I порядка относительно функции . Интегрируя последнее уравнение (см. указания к заданиям 1–3), найдем . Найдя интеграл от функции . получим общее решение исходного уравнения.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

Уравнение не содержит неизвестной функции . Сделаем подстановку , которая приведет исходное уравнение к виду

.

Получим уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем

.

В интеграле, стоящем справа, сделаем подстановку , . Тогда

; ;

.

Следовательно, .

2. Уравнение не зависит явно от .

Следовательно, уравнение имеет вид . В качестве новой независимой переменной возьмем , а новой неизвестной функцией – . Тогда по правилу дифференцирования сложной функции получим = и поэтому в исходном уравнении порядок понижен: . Решив полученное уравнение I порядка (см. задание 1–3), получим . После этого интегрированием найдем общее решение исходного уравнения.

Пример. Решить уравнение .

Решение. Поскольку уравнение не зависит явно от , то перейдем к переменным и . Тогда

1) – одно из решений

2) Разделим переменные, , получим

; ;

; .

Так как , то снова получим уравнение с разделяющими­ся переменными

; ; ;

; ; .

Задание 5

Приведены линейные неоднородные дифференциальные урав­нения II порядка с постоянными коэффициентами. Варианты задания даны в прил. 5.

Линейное дифференциальное уравнения II порядка с постоян­ны­ми коэффициентами – это уравнение, которое можно привести к виду

где р и q – числа, а f(x) – некоторая функция.

Если f(x) = 0, то уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением II порядка с постоянными коэффи­циентами

.

Если функция , то уравнение называется неоднородным.

Решение линейных однородных уравнений II порядка с постоянными коэффициентами

Чтобы решить линейное неоднородное дифференциальное урав­нение II порядка с постоянными коэффициентами , следует вместо у поставить I, вместо , а вместо . Получим квадратное уравнение, которое называется характеристическим уравнением данного дифферен­циального уравнения: .

Найдем дискриминант D этого квадратного уравнения .

Рассмотрим три случая.

1. D > 0. Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня k₁ , k₂. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид

,

где с₁ и с₂ – производные постоянные.

2. D = 0. Характеристическое уравнение имеет один действии­тельный корень k. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид

,

где с₁ и с₂ – производные постоянные.

3. D < 0. Характеристическое уравнение не имеет действи­тельных корней, а имеет два комплексных корня

, .

Решение дифференциального уравнения определяется числами и .

Проиллюстрируем решение линейных однородных дифферен­циальных уравнений II порядка с постоянными коэффициентами на следующих примерах.

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравне­ния

.

Решение. Данное уравнение является линейными однородным уравнением ІІ порядка с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение .

Дискриминант D = 49 – 48 = 1 > 0. Найдем корни характе­ристического уравнения k₁ = 4; k₂ = 3. Следовательно общее решение дифференциального уравнения имеет вид

.

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравне­ния , удовлетворяющее начальным условиям , .

Решение. Данное уравнение является линейными однородным уравнением ІІ порядка с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение .

Дискриминант D = 16 – 16 = 0. Следовательно, уравнение имеет один корень k = 2. В этом случае общее решение дифференциального уравнения имеет вид .

Чтобы найти частное решение, воспользуемся начальным условиями. Сначала используем условие , т.е. вместо х подставим в общее решение 0, а вместо у – 1. Получим уравнение . Итак, с₁ = 1.

Чтобы воспользоватся вторым начальным условием, найдем производную :

.

По условию , т.е. поставив х = 0, должны получить :

Следовательно, .

Итак, нужное нам частное решение получается при и . Поэтому оно имеет вид .

Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравне­ния

.

Решение. Составим характеристическое уравнение, соответству­ющее данному однородному дифференциальному уравнению ІІ порядка с постоянными коэффициентами .

Дискриминант D = – 16 < 0. Следовательно, уравнение не имеет вещественных корней, а имеет два комплексных корня . Найдем . Следовательно, в нашем примере ; .

Поэтому общее решение дифференциального уравнения запи­шется в виде

.