Министерство образования и науки Украины

ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Методические указания и задания к контрольной работе 3.2 по высшей математике (раздел “Дифференциальные уравнения”)

для студентов факультета заочного обучения всех специальностей

Утверждено методическим

советом университета,

протокол № 5 от 20.02.2008 г.

Харьков

ХНАДУ

2008

Составители: Т.А. Ярхо

И.Л. Разницын

В.А. Нестеренко

Ж.В. Саппа

Л.Ю. Русская

Настоящее издание предназначено для студентов факультета заочного обучения. оно содержит индивидуальные задания, относя­щиеся к разделу (блоку содержательных модулей) курса высшей математики «дифференциальные уравнения», указания к их выпол­нению, вопросы для самопроверки и список рекомендованной литературы.

Дифференциальные уравнения

Задания 1 – 5. Решить дифференциальные уравнения. Если в зада­чах указаны начальные условия, то найти частные решения, удовлетво­ряющие этим начальным условиям, в остальных – общее решения.

Прежде чем приступить к выполнению заданий 1 – 5, необходимо изучить материал в указанной литературе.

Вопросы для самопроверки

1. Что такое дифференциальное уравнение?

2. Как определить порядок дифференциального уравнения?

3. Что называется частным решением дифференциального уравнения?

4. Что называется общим решением дифференциального урав­нения?

5. Каков общий вид дифференциального уравнения с разделяющимися переменными?

6. В чем состоит метод решения дифференциального урав­нения с разделяющимися переменными?

7. Какие дифференциальные уравнения называются однородными?

8. Какая подстановка используется для решения однородного дифференциального уравнения?

9. Каков общий вид линейного дифференциального уравнения I порядка?

10. В чем состоит метод решения линейного дифферен­циального уравнения I порядка?

11. Изложите метод решения дифференциального уравнения ви­да .

12. Изложите метод решения дифференциального уравнения вида .

13. ИЗложите метод решения дифференциального уравнения вида .

14. Каков общий вид линейного однородного дифферен­циального уравнения ІІ порядка о постоянными коэффициентами?

15. Каков общий вид линейного неоднородного уравнения ІІ по­рядка с постоянными коэффициентами?

16. Что называется характеристическим уравнением линейного диф­ференциального уравнения ІІ порядка с постоянными коэффициетами?

17. Какова структура общего решения линейного неодно­родного дифференциального уравнения ІІ порядка с постоянными коэффици­ентами?

Задания и указания к их выполнению

Варианты задания 1–5 соответствуют двум последним цифрам номера зачетной книжки и приведены в прил. 1 – 5.

Задание 1

Уравнения, приведены в задании, являются дифференциальны­ми уравнениями с разделяющимися переменными, т.е. уравнениями, которые можно привести к виду

.

Чтобы решать такое дифференциальное уравнение, представ­ляют в виде , а затем разделяют переменные

, откуда .

После разделения переменных интегрируют обе части равенства и получают общее решение

или .

Пример. Найти частное решение дифференциального урав­нения , удовлетворяющее начальному условию .

Решение. Представим в виде . Получим . Разделим переменные и интегрируем . Следовательно, общее решение имеет вид , где с₁ – произвольная постоянная. Удобно представить произвольную постоянную в виде . Запишем . Пользуясь свойствами логарифмической функции, получим или . отсюда , где с – любое число.

Итак, – общее решение. Чтобы выделить частное решение, воспользуемся начальным условием .

Поставив в формулу общего решение , и , получим 2 = с·1, т.е. с = 2. Таким образом, получим решение задачи: у = 2х.