4.2. Метод средних величин

В любой совокупности экономических явлений или субъектов наблюдаются различия между отдельными единицами этой совокупностью. Одновременно с этими различиями существует и нечто общее, что объединяет совокупность и позволяет отнести все рассматриваемые субъекты и явления к одному классу. Роль средних величин заключается в обобщении, то есть замене множества индивидуальных значений признака средней величиной, характеризующей всю совокупность явлений. Средняя величина обобщает качественно однородные значения признака и, следовательно, является типической характеристикой признака в данной совокупности. Средние величины делятся на степенные и структурные.

Степенная средняя, в зависимости от степени “m”, может представлять собой различные виды средних величин.

x_i – значение показателя

m – номер степени средней

n - число вариант

C помощью выше приведенной формулы могут быть рассчитаны показатели только при трех условиях, если: вариационный ряд короткий; значения признака не сгруппированы и варианты встречаются одинаковое число раз.

Если варианты встречаются неодинаковое число раз, то средние величины рассчитываются не как простые, а взвешенные по следующей формуле:

x_i – значение показателя

m – номер степени средней

fi - число вариант

Таблица 4.

Виды средних величин

№ п/п	Наименование величины	По простому ряду	По вариационному ряду
1	Средняя арифметическая
2	Средняя гармоническая
3	Средняя антигармоническая
4	Средняя геометрическая
5	Средняя квадратическая
6	Средняя кубическая
7	Средняя биквадратическая

В таблице 4. приведены формулы расчета различных видов средних величин, для сгруппированных и не сгруппированных данных. Замечено, что численное значение средних величин с повышением у определяющей функции показателя “m” возрастает. Это свойство в статистике названо “правилом мажорантности”.

Рассмотрим примеры использования средних величин в экономическом анализе.

Пример 2.

Предприятие реализует картофель в течении месяца по разным ценам.

Средняя цена реализации картофеля составит 4,96 руб за 1 кг. Для расчета следует использовать формулу средней арифметической взвешенной:

Пример 3.

Темпы роста цен на реализуемую предприятием продукцию по кварталам года были различными:

Квартал	I	II	III	IV
Темп роста цен	1,002	1,005	1,004	1,006

Общий рост цен за год составил 1,002·1,005·1,004·1,006=1,017

Для расчета среднего темпа роста цен за год следует использовать формулу средней геометрической:

Пример 4.

Рабочий изготавливает 600 деталей за дневную смену и 410 деталей в ночную смену. Продолжительность дневной смены 8 часов, а ночной 6 часов. Требуется определить среднюю выработку работника за смену.

Для расчета следует воспользоваться средней гармонической:

Пример 5.

Требуется на основании данных отчетности об остатках товарно-материальных запасов определить средний объем товарно-материальных запасов за период.

	01.01.02.	01.04.02	01.07.02.	01.10.02	01.01.03.
Товарно-материальные запасы (тыс.руб)	200	250	300	320	200

Для расчета среднего объема товарно-материальных запасов в данном случае целесообразно применить формулу средней хронологической:

Кроме рассмотренных выше различных видов средних величин для анализа рядов распределения, рассчитываются еще так называемые структурные средние величины: мода и медиана, которые характеризуют величину варианта, занимающего определенное положение в ранжированном ряду. Медиана (Ме) соответствует варианту, занимающего середину ранжированного ряда.

Расположение медианы определяется ее номером (Nме), который рассчитывается по формуле:

Медианная строка в вариационной таблице определяется по накопленной частоте Si, численная величина которой должна быть равна или на немного больше медианы.

Численное значение самой медианы определяется по формуле:

х_ме – нижнее значение медианного интервала;

h – величина медианного интервала;

S_ме-1 – накопленная частота, предшествующая медианному интервалу

fме – частота (частость, вес) медианного интервала.

Модой (Мо) называют часто встречающееся значение признака у исследуемых единиц совокупности. Мода в вариационном ряду с равными интервалами определяется по формуле:

Для характеристики экономических показателей в совокупности можно рассчитать абсолютные и относительные показатели вариации.

Размах вариации показывает, насколько велико различие между единицами совокупности, имеющими самое маленькое и самое большое значение признака. R = Xmax-Xmin.

Среднее линейное отклонение (d) - отражает все колебания варьирующего признака, дающий обобщенную ее характеристику

Дисперсия (σ²) и среднее квадратическое отклонение (σ) - являются общепринятым мерами вариации и часто используются в экономических исследованиях.

σ²

Дисперсия есть средняя величина квадратов отклонений. Среднее квадратическое отклонение - это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности

Среднее квартильное расстояние (Q) - используется для характеристики вариации в центральной ее части.

Для вычисления совокупность делят на четыре части. Эти четыре части называют квартилями и обозначают (Q) с подписным значком номера.

или

, где

X_Q1,X_Q2, X_Q3- значения верхней границы интарвала для каждой строки

S- накопленная частота

S_-1- накопленная частота предыдущей строки

Для целей сравнения колеблемости различных признаков представляют интерес относительные показатели вариации. Они позволяют сравнивать характер рассеивания в различных распределениях.

Коэффициент осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.

%

Относительное линейное отклонение характеризует долю усредненного значения абсолютных отклонений от средней величины.

%

Коэффициент вариации является наиболее распространенным показателем вариации, используемым для оценки типичности средних величин. При этом исходят из того, что если коэффициент вариации больше 33 %, то это говорит о неравномерности распределения признака в изучаемой совокупности.

%

Коэффициент квартильного отклонения- показывает колеблемость внутри квартилей.

% или %

Основная задача анализа вариационных рядов- выявление закономерностей распределения. Выяснение общего характера распределения предполагает оценку его однородности, а так же вычисление показателей ассиметрии и эксцесса.

При нормальном распределении: средняя величина совокупности равна моде и медиане. Для распределения выполняется «правило трех сигм.

Мо=Ме=х

-3 х +3

Рис. 1 Графическое изображение «нормального» распределения

Для характеристики распределения определяются показатели асимметрии. Для того, чтобы выявить асимметрию распределения крайних значений совокупности рассчитывают показатель, основанный на моменте третьего порядка.

Для характеристики асимметрии в центре совокупности используют показатель Пирсона:

Если в результате расчетов показатель будет больше нуля, то асимметрия правосторонняя, если отрицательная величина, то левосторонняя.

л евосторонняя правосторонняя

нормальное распределение

Рис. 2 Графическое изображение асимметрии.

В статистических расчетах принято считать: если коэффициент асимметрии более 0,5, то асимметрия существенна, а если меньше 0,25, то несущественна. Другим показателем характеризующим распределение является эксцесс – выпадение вершины эмпирического распределения вверх и вниз от вершины нормального распределения, рассчитывается с помощью момента четвертого порядка

При нормальном распределении Ех = 0. Если величина показателя эксцесса положительна, то распределение островершинное, если отрицательна - распределение плосковершинное.

о стровершинное

плосковершинное

нормальное распределение

Рис. 3 Графическое изображение эксцесса.

Пример 5.