5.7. Дисперсионный анализ

В основу дисперсионного анализа положено выявление наличия и оценка существенности взаимосвязи между признаками путем сопоставления среднегрупповых величин. Этот вид анализа часто применяют совместно с аналитической группировкой. При дисперсионном анализе данные разделяются на группы по численным значениям признака-фактора. Затем вычисляются значения средних величин результативного признака в группах и считается, что различия в их значениях зависят от различий только факторного признака. Задача состоит в оценке существенности квадратов отклонений между средними значениями полученных результатов в группах, то есть по показателю эмпирического корреляционного отношения:

,где

²_х-межгрупповая дисперсия

² – общая дисперсия

Эмпирическое корреляционное отношение характеризует влияние признака, положенного в основание группировки, на вариацию результативного признака, оно изменяется в пределах от 0 до 1. Если значение эмпирического корреляционного отношения равно 0, то группировочный признак не оказывает влияния на результативный, а если равен 1, то это означает, что результативный признак изменяется под воздействием только группировочного.

Выделяют дисперсию общую, межгрупповую и внутригрупповую.

Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию:

Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине изучаемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки.

, где

- соответственно групповые средние и численности по отдельным группам

Внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию, то есть ту вариацию, которая не зависит от изменения признака-фактора положенного в основу группировки.

Средняя из внутригрупповых дисперсий определяется по формуле:

Существует закон связывающий между собой эти виды дисперсий:

Пример 23

Проведем дисперсионный анализ производительности труда рабочих с использованием данных таблицы 25.

Таблица 25.

Расчет дисперсий на основании данных о производительности труда рабочих

Группы рабочих	Производительность труда (деталей за смену) х	Численность рабочих
Количество рабочих прошедших техническое обучение	84	1	121
	93	1	4
	95	1	0
	101	1	36
	102	1	49
Итого	475	5	210
Количество рабочих не прошедших техническое обучение	62	1	361
	68	1	169
	82	1	1
	88	1	49
	105	1	576
Итого	405	5	1156
Всего	880	10	1856

Рассчитаем следующие показатели.

• среднюю из внутригрупповых дисперсий

• межгрупповую дисперсию

• общая дисперсия ²=136,6+49,0=185,6

• эмпирическое корреляционное отношение

Таким образом, проведенные расчеты показывают, что фактор технического обучения объясняет в данном случае 26,4% вариации производительности труда рабочих, а не учтенные факторы 73,6%.