6. Методы стохастического факторного анализа

6.1. Корреляционно-регрессионный анализ

Выше указанные способы детерминированного факторного анализа используются для функциональных зависимостей, но не менее важную долю в экономических исследованиях занимают стохастические зависимости (корреляционные). При проведении корреляционно-регрессионного анализа выявляется количественная оценка взаимосвязей между факторными и результативными признаками, выявляется наличие и характеристика взаимосвязи, а также направление и форма. Следует помнить, то применение корреляционной зависимости оправдано только в большой массе наблюдений, подчиняющихся закону нормального распределения. Для другого вида взаимозависимостей вероятностного характера оправдано применение непараметрических способов анализа.

Корреляционные связи не являются точными (жесткими) зависимостями, а эти зависимости носят соотносительный характер. Если знание функциональных зависимостей позволяет точно расcчитывать события, например, время восхода и захода солнца ежедневно, время наступления солнечных затмений с точностью до секунды, то при корреляционных связях при одном и том же значении учтенного факторного признака могут быть различные значения результата. Это объясняется наличием других, порой неучтенных факторов, которые действуют на изучаемые социально-экономические явления. Особенность корреляционных связей состоит в том, что их проявление можно заметить не в единичных случаях, а в массе случаев.

Для определения корреляционной связи показателей социально-экономической, финансовой и прочей деятельности необходимо решить две основные задачи:

1. проверить возможность существования взаимосвязи между изучаемыми показателями и придать выявленной взаимосвязи конкретную математическую форму зависимости;

2) установить количественные оценки тесноты взаимосвязи, т.е. силу влияния факторных признаков на результат.

Наиболее разработанными в статистике являются методы изучения парной корреляции, позволяющие определить влияние изменения факторного признака (х) на результативный (у). Чтобы отразить выявляемые взаимосвязи в аналитической форме прибегают к использованию математических функции в виде уравнения прямолинейной и криволинейной зависимости.

Для анализа прямолинейной зависимости применяется уравнение вида:

у_х=а₀+а_1*х

Криволинейная зависимость анализируется с помощью математических функций параболы, гиперболы, показательной, степенной и др.

При анализе корреляционной зависимости между признаками “х” и “у” необходимо:

а) выявить вид функционального уравнения;

б) определить численное выражение их параметров;

в) осуществить проверку вычисленных параметров на их типичность;

г) произвести оценку практической ценности выявленной модели функционального уравнения;

д) определить в какой степени теснота корреляционной (соотносительной) связи между факторами и результатом отличается от функциональной (жесткой) зависимости, и.т.д.

Осуществить это можно путем применения метода группировок и корреляционно-регрессионного анализа влияния изменения (вариации) факторного признака “х” на результативный “у”.

Модель регрессии может быть построена как по индивидуальным значениям признака, так и по сгруппированным данным (таблица № 1). Для выявления связи между признаками по достаточно большому числу наблюдений используется корреляционная таблица на ее основе можно построить не только уравнение регрессии, но и определить показатели тесноты связи.

Искомые параметры уравнения связи находят с помощью способа наименьших квадратов, т.е. при условии что:

Ѕ= → min

Эти расчеты при даже очень большом объеме эмпирических данных с использованием компьютерных технологий, не представляет больших трудностей и времени.

Система нормальных уравнений для нахождения параметров линейной парной регрессии методом наименьших квадратов имеет следующий вид:

;

где

n — объем исследуемой совокупности (число единиц наблюдения),

и – коэффициенты, и – свободные члены

В уравнениях регрессии параметр показывает усредненное влияние на результативный признак неучтенных (не выделенных для исследования) факторов; параметр - коэффициент регрессии, который показывает, насколько изменяется в среднем значение результативного признака при изменении факторного на единицу его собственного измерения. Для нахождения параметров системы нормальных уравнении используется метод определителей. Во-первых представим эту систему в матричном виде:

= =

Определители и получаются заменой свободными членами элементов соответственно первого ( ) и второго ( ) столбцов. Получаем таким образом:

= =

= =

=

=

Система нормальных уравнений для нахождения параметров полулогарифмической парной регрессии методом наименьших квадратов имеет следующий вид:

Аналогично находятся параметры системы уравнений:

При статистическом анализе не линейной корреляции связи возможно применение уравнения регрессии показательной функции:

.

Для решения уравнения производится его логарифмирование:

С учетом требований метода наименьших квадратов составляется система нормальных уравнений:

;

.

Применением к системе метода определителей устанавливаются алгоритмы расчета параметров уравнения:

;

.

Проверка адекватности моделей, построенных на основе уравнений регрессии, начинается с проверки значимости каждого коэффициента регрессии. То есть необходимо сначала проверить параметры уравнения на типичность прежде, чем использовать полученную модель.

Если n (количество групп) меньше 30 то:

;

.

Параметры модели признаются типичными если:

где - это табличное значение, определяемое по распределению Стьюдента (t – распределение) обычно при вероятности α=0,05 и v=n-2.

Измерение тесноты и направления связи является важной задачей изучения и количественного измерения взаимосвязи социально-экономических явлений.

Теснота связи при линейной зависимости измеряется с помощью линейного коэффициента корреляции.

В практике применяются различные модификации формул расчета данного коэффициента:

,

Производя расчет по итоговым значениям исходных переменных, линейный коэффициент корреляции можно вычислить по формуле:

Линейный коэффициент корреляции изменяется в пределах от –1 до +1. Знаки коэффициентов регрессии и корреляции совпадают.

Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на основе t – критерия Стьюдента:

Если расчетное значение (табличное), то гипотеза =0 отвергается, что свидетельствует о значимости линейного коэффициента корреляции, а, следовательно, и свидетельствует о статистической существенности зависимости между факторами “х” и “у”.

Для характеристики степени тесноты связи по линейному коэффициенту корреляции используется шкала Чеддока:

Таблица 17

Характеристика силы связи по шкале Чеддока

Теснота связи	0,1-0,3	0,3-0,5	0,5-0,7	0,7-0,9	0,9-0,99
Характеристика степени тесноты связи	слабая	заметная	умеренная	высокая	весьма высокая

Частное от деления факторной (σ²_ух) дисперсии на общую дисперсию (σ²_у) представляет собой показатель (R), указывающий на меру тесноты связи между признаками “х” и “у”, при не линейных зависимостях.

R²= ; тогда R= =

Показатель R² называется индексом детерминации, свидетельствующий насколько значение результативного признака обусловлено влиянием факторного. Чем ближе значение R² к единице, тем сильнее зависимость.

Проверка адекватности всей модели осуществляется с помощью F – критерия Фишера и величины средней ошибки аппроксимации .

где m – число параметров уравнения (при и , т.е. m=2)

V₁=n-m; V₂=m-1.

Индекс корреляции считается типичным если

Значение средней ошибки аппроксимации, определяется по формуле, которая показывает степень влияния на изменение результативного признака неучтенных факторов. Если ошибка аппроксимации не превышает 12-15%, то с построенное уравнение регрессии можно использовать в экономических расчетах.

Расчет частных коэффициентов эластичности позволяет определить на сколько процентов изменяется результативный признак при изменении факторного признака на один процент.

Применение методов корреляционно-регрессионного анализа влияния вариации факторного показателя “x” на результативный “y” рассмотрим на конкретном примере.