2. Тонкі сферичні лінзи. Оптичні прилади Приклади розв’язків задач

2.1. Визначити, як зміняться фокусні відстані двоопуклої тонкої скляної лінзи (n_л=1,5) з радіусами кривини заломлюючих поверхонь R₁=R₂=R=25 см після поміщення лінзи в гірчичну олію (n_с = 1,6).

Розв’язання. Оптична сила тонкої двоопуклої лінзи

,

Фокусна відстань двоопуклої лінзи, яка перебуває у повітрі:

(1)

(врахували, що показник заломлення повітря дорівнює одиниці).

Внаслідок занурення лінзи в олію:

, (2)

З формул (1) і (2) шукане відношення фокусних відстаней

.

Обчислюючи, отримуємо , тобто F_с= –8F<0. Отже, збиральна лінза внаслідок зануренні її в середовище, більш оптично густе, ніж речовина лінзи, стала розсіювальною.

Відповідь: F_с=–8F.

2.2. Двоопукла симетрична скляна лінза (показник заломлення п=1,5) має радіуси кривини заломлюючих поверхонь, які дорівнюють 9,0 см. Визначити відстань l від предмету до його дійсного зображення, якщо зображення предмету в η=5 разів більше від предмету.

Розв’язання. Зображення предмета дійсне, обернене, збільшене отримують з допомогою збиральної лінзи, якщо предмет розміщений між подвійною фокусною відстанню і фокусною відстанню лінзи (див. малюнок):

Шукана відстань

l=d+f,

де d — відстань від лінзи до предмету; f — відстань від лінзи до зображення. Формула тонкої лінзи з урахуванням того, що радіуси кривини опуклих поверхонь однакові і лінза перебуває в повітрі, а предмет і зображення дійсні:

. (1)

Поперечне збільшення лінзи:

.

Підставивши цей вираз у формулу (1), після елементарних перетворень знайдемо

.

Тоді шукана відстань від предмету до зображення

.

Відповідь: l=64,8 см.

2.3. На відстані d=7,0 см від збиральної лінзи оптичної сили D=25 дптр перпендикулярно до головної оптичної осі розміщено предмет висоти h=4,0 см. Визначити:

1) відстань f зображення від лінзи;

2) висоту Н зображення.

Розв’язання. Для коректної побудови зображення знайдемо, згідно з умовою задачі, фокусну відстань лінзи. Оптична сила тонкої лінзи

, (1)

де F — фокусна відстань. Отримуємо, що фокусну відстань лінзи дорівнює 4,0 см.

Д ля побудови зображення використовуємо промені, які виходять з точки А предмету АВ:

1) промінь 1, що йде паралельно до головної оптичної осі, який після заломлення в лінзі проходить крізь другий фокус лінзи;

2) промінь 2, що проходить крізь оптичний центр лінзи і не змінює свого напряму;

3) промінь 3, що проходить крізь перший фокус лінзи, який після заломлення в ній виходить з лінзи паралельно до її головної оптичної осі.

Точка перетину А' цих променів і є дійсне зображення точки А. Зображення решти всіх точок предмету лежать на перпендикулярі, опущеному з точки А' на головну оптичну вісь. Природно, для побудови зображення було достатньо розглянути заломлення в лінзі лише двох променів.

З побудови випливає, що коли предмет розміщений між подвійною фокусною відстанню і фокусною (див. умову задачі) зображення розміщене за подвійною фокусною відстанню по іншу сторону лінзи і є дійсним, оберненим і збільшеним.

Відповідно до формули тонкої лінзи (предмет і зображення дійсні):

,

звідки шукана відстань зображення від лінзи

.

Шукана висота зображення:

,

.

Відповідь: 1) f=9,3 см; 2) H=5,3 см.

2 .4. На відстані d=15 см від розсіювальної лінзи фокусної відстані F= –30 см перпендикулярно до головної оптичної осі розміщено предмет висоти h=9,0 см. Визначити:

1) відстань f зображення від лінзи;

2) висоту Н зображення.

Розв’язання. Для побудови зображення використовуємо промені, які виходять з точки А предмету АВ:

1) промінь 1, який йде паралельно до головної оптичної осі і продовження якого після заломлення в лінзі проходить крізь фокус лінзи;

2) промінь 2, який проходить крізь оптичний центр лінзи і не змінює свого напряму.

Точка перетину А' і є уявним зображенням точки А. Зображення всіх інших точок предмету лежать на перпендикулярі, опущеному з точки А' на головну оптичну вісь.

З побудови випливає, що за будь-якого розташування предмету зображення предмету, уявне, пряме, зменшене розміщене між предметом і лінзою.

Згідно з формулою тонкої лінзи

.

Звідси шукана відстань зображення від лінзи

,

Шукана висота зображення:

,

.

Відповідь: 1) f=10 см; 2) Н=6 см.

2 .5. Визначити відстань d від збиральної лінзи до предмету, за якої відстань l від предмету до його дійсного зображення мінімальна. Фокусна відстань лінзи F.

Розв’язання. Згідно з умовою задачі,

. (1)

Формула тонкої лінзи (предмет і зображення дійсні):

.

Подамо l як функцію однієї змінної d, виключивши, згідно з (1), величину f

. (2)

Досліджуємо функцію (2) на екстремум, продиференціювавши вираз (2) по змінній d і прирівнявши до нуля похідну

.

Оскільки d>F і d≠0, то

.

Відповідь: . Цікаво, що тоді також і отримуємо зображення, рівновелике предмету