10. Закони збереження у радіоактивному розпаді та ядерних реакціях Приклади розв’язків задач
Приклад 10.1.
Знайдіть період піврозпаду
радіоактивного ядра, якщо його стала
розпаду ,.
Розв’язання. Відповідно до закону радіоактивного розпаду,
, (1)
де N0 — початкова кількість ядер; N – кількість ядер, що не розпалися, на момент часу t; λ — стала розпаду. Період піврозпаду — проміжок часу, упродовж якого початкова кількість ядер внаслідок радіоактивного розпаду зменшується вдвічі. Тоді, згідно з (1),
,
звідки шуканий вираз для періоду піврозпаду
.
Відповідь: .
Приклад 10.2. Вважаючи сталу розпаду λ радіоактивного ядра відомою, знайдіть середню тривалість життя ядра (час життя нукліда) τ.
Розв’язання. Радіоактивний розпад є випадковим процесом, що підлягвє законам статистики. Оскільки окремі радіоактивні ядра розпадаються незалежно одне від одного, то можна вважати, що кількість ядер dNр, які розпалися упродовж інтервалу часу від t до t + dt, пропорційна до проміжку часу dt і кількості N ядер, які не розпалися (наявні) на момент часу t:
dNр = λNdt,
де λ — стала радіоактивного розпаду.
Сумарна тривалість життя dτ ядер, які розпались за проміжок часу від t до t + dt дорівнює tdNр = λNtdt. Проінтегрувавши цей вираз по всіх можливих t (тобто від 0 до ∞) і поділивши результат на початкову кількість ядер N0, одержимо середній час життя τ радіоактивного ядра:
(врахували закон радіоактивного розпаду ).
Відповідь:
.
Приклад 10.3. Виведіть закон зміни маси радіоактивного зразка з часом, якщо продукти розпаду залишають зразок.
Розв’язання. Закон радіоактивного розпаду
, (1)
де N0 — початкова кількість ядер; N — кількість ядер, що не розпалися, на момент часу t; λ — стала розпаду.
Помноживши обидві частини рівняння (1) на mат — масу одного атома, одержимо
,
звідки закон зміни маси радіоактивного зразка з часом
де m = Nmат — маса зразка в момент часу t; m0=N0mат — маса зразка в початковий момент.
Приклад 10.4. Яка частина радіоактивних нуклідів розпадеться упродовж часу, який дорівнює середній тривалості життя нукліда?
Розв’язання. Якщо N0 — початкова кількість нуклідів; N — кількість нуклідів, які не розпалися на момент часу t, то частина нуклідів, які не розпалися
. (1)
Відповідно
до закону радіоактивного розпаду,
,
де
λ — стала
розпаду. Оскільки середній час життя
нукліда
і t = τ,
то
.
Підставивши цей вираз у (1), одержимо
.
Відповідь: k = 0,63.
Приклад 10.5.
Визначити період піврозпаду
радіоактивного ізотопу, якщо
початкової кількості ядер цього ізотопу
розпалося упродовж t = 407 с.
Розв’язання. Кількість ядер, які розпадаються упродовж проміжку часу t:
Тоді частина ядер, які розпалися на момент часу t:
Знаходимо
Відповідь: = 600 с (10 хв).
Приклад 10.6.
Стала розпаду нукліда кобальту
λ = 4,14·10–9 с–1.
Визначити, упродовж якого проміжку часу
розпадеться
початкової кількості ядер кобальту.
Розв’язання. Частина ядер, які розпадаються упродовж проміжку часу t
, (1)
де N0 — початкова кількість ядер; N — кількість ядер, що не розпалися, на момент часу t; ΔNр = N0 – N — кількість ядер, що розпалися упродовж t; λ — стала розпаду.
Відповідно
до умови задачі,
.
Тоді з (1)
.
Знаходимо t
.
Відповідь: t = 4,4∙107 с (12 год 13 хв).
Приклад 10.7.
Початкова маса зразка радіоактивного
ізотопу натрію
т0 = 0,3 мг,
а період піврозпаду ізотопу
= 62 с.
Визначити початкову активність зразка
та його активність через 5 хв.
Розв’язання. Початкова активність зразка
, (1)
де
— стала
розпаду; N0 — кількість
ядер ізотопу у зразку в початковий
момент часу.
Оскільки
(М=23∙10–3 кг/моль — молярна
маса натрію; NA = 6,02∙1023 моль–1 — стала
Авогадро), то підставивши вираз для N0
у (1), одержимо початкову активність
зразка
.
Активність ізотопу у довільний момент часу
Оскільки , то активність зразка змінюється з часом так
.
Відповідь: А0 = 8, 8∙1016 Бк; А = 3,1∙1015 Бк.
Приклад 10.8. Активність зразка ізотопу йоду маси т = 1,0 мкг становить А = 4,61 ТБк. Визначити період піврозпаду цього ізотопу.
Розв’язання. Активність зразка
, (1)
де λ — стала радіоактивного розпаду.
Зв'язок між сталою розпаду λ і періодом піврозпаду :
. (2)
Підставивши (2) в (1), одержимо
,
звідки період піврозпаду
Відповідь: Т1/2 = 8 діб.
Приклад 10.9.
Активність радіоактивного зразка
магнію
зменшується упродовж t = 44,4 с на
η = 5%. Визначити середній час життя
нукліда.
Розв’язання. Активність радіоактивного зразка зменшується з часом за тим же законом, що й кількість радіоактивних ядер (А = λN):
, (1)
де А0 — початкова активність зразка; λ — стала розпаду. Відповідно до умови задачі,
,
звідки
. (2)
Стала радіоактивного розпаду λ і середній час життя τ нукліда зв'язані співвідношенням
.
Тоді вираз (2) запишеться у вигляді
,
звідки шуканий час життя нукліда
.
Відповідь: τ = 870 с.
Приклад 10.10.
Визначити, який ізотоп утвориться з
ізотопу урану
у результаті трьох α-розпадів і двох
β–-розпадів. Подайте загальну
схему розпаду.
Розв’язання: α- і β–-розпади протікають відповідно до таких правил зміщення:
,
,
тобто у результаті α-розпаду масове число дочірнього ядра зменшується на 4, а зарядове число — на 2 одиниці, у результаті β–-розпаду масове число дочірнього ядра не змінюється, а зарядове число збільшується на одиницю. Тоді загальна схема розпаду:
торій радій радон францій радій
Відповідь:
у
результаті зазначених розпадів утвориться
ізотоп радію 
.
Приклад 10.11.
Радіоактивний ізотоп урану
зазнає шість α- і три
β–-розпади.
Користуючись Періодичною системою
елементів і законами збереження,
встановіть, який кінцевий продукт
розпаду. Подайте загальну схему розпаду.
Розв’язання: Із врахуванням законів збереження зарядових і масових чисел для α- і β–-розпадів можна записати:
,
,
тобто в результаті α-розпаду масове число дочірнього ядра зменшується на 4, а зарядове число — на 2 одиниці, у результаті β–-розпаду масове число дочірнього ядра не змінюється, а зарядове число збільшується на одиницю.
Тоді загальна схема розпаду:
Відповідь:
У
результаті зазначених розпадів утвориться
ізотоп вісмуту 
.
Приклад 10.12. Доведіть, що практично всю енергію, яка виділяється у α-розпаді, забирає α-частинка.
Розв’язання. Рівняння α-розпаду:
.
Відповідно до закону збереження енергії, для α-розпаду
, (1)
де
Q — енергетичний
ефект розпаду (енергія, яка виділяється
у розпаді:
)
Відповідно до закону збереження імпульсу,
, (2)
З (1) і (2) отримуємо
.
Оскільки
,
до того ж α-розпаду
зазнають лише ядра
,
,
то
.
Тобто α-частинки
забирають понад 98% енергії, яка виділяється
у розпаді.
Приклад 10.13.
Внаслідок поглинання нейтрона ядром
спостерігають α-частинку. Який інший
продукт ядерної реакції?
Розв’язання. Поглинання нейтрона ініціює ядерну реакцію
.
Оскільки
в ядерних реакціях зберігаються і
зарядові, і масові числа, то для невідомого
продукту реакції Z = 5–2 = 3;
А = 10+1–4 = 7.
Шуканий продукт реакції
.
Згідно з Періодичною системою елементів
це атомне ядро
.
Отже, ядерну реакцію схематично можна подати у вигляді
.
Відповідь: , літій.
Приклад 10.14. Визначивши зарядове число Z і масове число А частинки, позначеної буквою х, у рівнянні ядерної реакції, визначіть, яка це частинка:
1)
;
2)
;
3)
.
Розв’язання. Для знаходження частинки х необхідно знати її зарядове число Z і масове число А. Для цього скористуємось законами збереження зарядових і масових чисел:
1)
; Z = 0; A = 1:
(нейтрон);
2) ; Z = 0; A = 1: (нейтрон);
3)
; Z = 1; A = 1:
(протон).
Відповідь: 1) ; 2) ; 3) .
Приклад 10.15.
Внаслідок бомбардування ізотопу
літію
дейтронами
(
= 3,3446∙10–27 кг)
утворюються дві α-частинки
(
= 6,6467∙10–27 кг)
і виділяється енергія Q = 22,3 МеВ.
Визначити масу ізотопу літію.
Розв’язання.
Дефект
маси
ядерної реакції
;
. (1)
З іншого боку,
, (2)
де с – швидкість світла у вакуумі. Із виразів (1) і (2) шукана маса ізотопу літію
.
Відповідь:
= 9,9884∙10–27 кг.
Приклад 10.16. У результаті зіткнення дейтрона з ядром берилію утворилися нове ядро й нейтрон. Визначити порядковий номер і масове число ядра, яке утворилося. Який енергетичний ефект реакції?
Розв’язання. Із законів збереження зарядових і масових чисел випливає, що Z = 5, а А = 10, тобто ядро, що утворилося в результаті ядерної реакції — ізотоп бору . Тому рівняння ядерної реакції можна подати у вигляді
.
Енергетичний ефект ядерної реакції
, (1)
де в перших круглих дужках зазначені маси вихідних ядер, у других — маси ядер продуктів реакції. У розрахунках замість мас ядер використовують маси відповідних ізотопів, оскільки відповідно до закону збереження зарядових чисел, у ядерній реакції (зарядове число Z ізотопа — нейтрального атома дорівнює кількості електронів у його оболонці) виходять однакові результати. Маси ізотопів у (1):
= 1,4966∙10–26 кг;
= 3,3446∙10–27 кг;
= 1,6627∙10–26 кг;
= 1,675∙10–27 кг.
Обчислюючи, одержимо Q = 4,84 МеВ: енергетичний ефект додатний; реакція екзоенергетична.
Відповідь: Z = 5; А = 10; Q = 4,84 МеВ.
Приклад 10.17. За енергій нейтронів близько 10 МеВ на ядрі урану протікає ядерна реакція виду (n, 2n), у результаті якої утворюється штучно-радіоактивне ядро, що зазнає β–-розпаду. Запишіть рівняння зазначених процесів.
Розв’язання. Розгорнуте рівняння ядерної реакції виду (n, 2n) на ядрі подамо у вигляді:
.
Ядро
зазнає β–-розпаду
згідно з рівнянням розпаду:
.
Приклад 10.18.
Внаслідок захоплення теплового
нейтрона ядром урану
утворюються два осколки поділу й два
нейтрони. Визначити зарядове число Z і
масове число А одного з осколків, якщо
іншим осколком є ядро стронцію
.
Перший з осколків зазнає послідовно
три β–-розпади. Запишіть рівняння
реакції поділу і рівняння ланцюжка
β–-розпадів.
Розв’язання. Відповідно до умови задачі, рівняння поділу ядра
.
У
лівій частині рівняння масове число
(загальна кількість нуклонів) дорівнює
235 + 1 = 236,
а зарядове число (кількість протонів)
92 + 0 = 92.
Відповідно до законів збереження масових
і зарядових чисел, вони у випадку реакцій
невисоких енергій внаслідок реакції
не змінюються. Отже, у першого осколка,
що утворився
в результаті
реакції, А = 236 – 95 – 2 = 139;
Z = 92 – 38 = 54.
У Періодичній системі елементів вони
відповідають хімічному елементу
.
Таким чином, рівняння реакції остаточно запишеться у вигляді
.
Рівняння β–-розпаду має вигляд
.
Тоді ланцюжок трьох послідовних β–-розпадів можна подати у вигляді
,
ксенон цезій барій лантан
або ж остаточно
.
Відповідь: ; .
Приклад 10.19. Визначити добову витрату чистого урану ядерною електростанцією потужності Р = 300 МВт, якщо внаслідок поділу ядра виділяється енергія Q ≈ 200 МеВ. Ефективність витрати палива = 30.
Розв’язання. Енергія, яка виділяється внаслідок поділу урану маси m:
, (1)
де N — кількість поділів (вона така ж, як і кількість атомів у шматку ), а М — молярна маса урану (М =0,235 кг/моль)
Енергія, яку віддає електростанція (енергія електричного струму), упродовж τ:
. (2)
Згідно із законом збереження енергії
. (3)
Врахувавши (1) і (2) в (3), отримуємо
.
Знаходимо m
.
Відповідь: т = 950 г.